Question

Найдите все числа, на которые может быть сократима при целом значении n дробь (5n+6)/(8n+7)

Answer 1

Разложим дробь
$\frac{5n+6}{8n+7}=\frac{5n}{8n+7} + \frac{6}{8n+7}= \ (*)$

$\frac{5n}{8n+7} = A + \frac{B}{8n+7}; \ \ \ \ A \cdot (8n+7) + B=5n; \\ \\ \left \{ {{8A=5} \atop {7A+B=0}} \right. \ \ \left \{ {{A=\frac{5}{8}} \atop {B=-\frac{35}{8}}} \right. \\ \\ \frac{5}{8} - \frac{35}{8 \cdot (8n+7)}$

$(*) \ = \frac{5}{8} - \frac{35}{8 \cdot (8n+7)}+ \frac{6}{8n+7}= \frac{5}{8} + \frac{-35+48}{8\cdot (8n+7)}=\frac{5}{8} + \frac{13}{8\cdot (8n+7)}$

НОД $(13, 8n+7)=1,13$

$8n+7=13m; \ \ \ m=8k+3, \ \boxed{n=13k+4, \ k \in Z}$

Answer 2

Чтобы найти все числа, на которые может быть сократима дробь (5n + 6)/(8n + 7), мы должны найти общие делители числителя и знаменателя этой дроби.

Для начала, давайте рассмотрим числитель и знаменатель отдельно и найдем их общие делители.

Числитель: 5n + 6. Знаменатель: 8n + 7.

Находим общие делители числителя и знаменателя

Общие делители 5n + 6 и 8n + 7 могут быть найдены с помощью алгоритма Евклида или просто путем факторизации чисел. Давайте воспользуемся факторизацией для нахождения общих делителей.

Факторизуем числитель и знаменатель:

5n + 6 = (5n + 3)(n + 2)

8n + 7 = (8n + 4 + 3) = 4(2n + 1) + 3 = 4(2n + 1) + 1(3)

Таким образом, мы видим, что 8n + 7 можно представить в виде суммы двух чисел, где одно число делится на 4, а другое - на 1.

Находим значения n, при которых числитель и знаменатель имеют общие делители

Теперь, чтобы найти значения n, при которых числитель и знаменатель имеют общие делители, мы должны найти значения n, при которых (5n + 3) и (2n + 1) являются общими делителями числителя и знаменателя.

Поскольку (5n + 3)(n + 2) и 4(2n + 1) + 1(3) являются различными представлениями для числителя и знаменателя соответственно, общие делители числителя и знаменателя будут общими делителями их разложений.

Таким образом, значения n, при которых числитель и знаменатель имеют общие делители, будут такими, что (5n + 3) и (2n + 1) делятся на одно и то же число.

Находим значения n

Для нахождения значений n, при которых (5n + 3) и (2n + 1) делятся на одно и то же число, мы должны рассмотреть общие делители этих двух выражений.

Давайте рассмотрим различные случаи:

1. Если (5n + 3) и (2n + 1) делятся на 1, то все значения n будут удовлетворять этому условию.

2. Если (5n + 3) и (2n + 1) делятся на простое число p, то мы должны решить уравнение (5n + 3) ≡ 0 (mod p) и (2n + 1) ≡ 0 (mod p), чтобы найти значения n.

Решение таких уравнений может потребовать применения алгоритма решения сравнений или других методов, в зависимости от конкретных значений p.

Таким образом, чтобы найти все числа, на которые может быть сократима дробь (5n + 6)/(8n + 7), мы должны рассмотреть все значения n, при которых (5n + 3) и (2n + 1) имеют общие делители. Результат будет зависеть от значений общих делителей и особенностей конкретных чисел в выражениях (5n + 3) и (2n + 1).