Question

Решите производные степенной функции: 1) f(x)=3√x f'(x)=6 2) f(x)=3x+4)^3/2 f'(4)

Answer 1

1) $f(x)=3 \sqrt{x} \\ f'(x)=3* \frac{1}{2} \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{3}{2} \frac{1}{ \sqrt{x} } \\ f'(x)= \frac{3}{2} \frac{1}{ \sqrt{x} } =6 \\ \frac{1}{ \sqrt{x} }=4 \\ x= \frac{1}{16}$

2) $f(x)=(3x+4)^{3/2} \\ f'(x)= \frac{3}{2} (3x+4)^{1/2} *(3x+4)'=\frac{3}{2} (3x+4)^{1/2} *3=\frac{9}{2} \sqrt{3x+4} \\ f'(4)=\frac{9}{2} \sqrt{3*4+4} =\frac{9}{2} \sqrt{16} =18$

Answer 2

1) Для решения производной степенной функции f(x) = 3√x, мы можем использовать правило дифференцирования степенной функции.

f(x) = 3√x f'(x) = (3/2)x^(-1/2) = (3/2)√x

Таким образом, производная функции f(x) равна (3/2)√x.

2) Для решения производной функции f(x) = (3x+4)^3/2, мы также можем использовать правило дифференцирования степенной функции.

f(x) = (3x+4)^3/2 f'(x) = (3/2)(3x+4)^(1/2) * 3 f'(4) = (3/2)(3*4+4)^(1/2) * 3 f'(4) = (3/2)(16+4)^(1/2) * 3 f'(4) = (3/2)(20)^(1/2) * 3 f'(4) = (3/2)(4√5) * 3 f'(4) = 18√5

Таким образом, производная функции f(x) равна 18√5 при x=4.