Question

Решить уравнение sin3x*sin9x=sin5x*sin7x

Answer 1

$sinx*siny= \frac{1}{2} (cos(x-y)-cos(x+y))$

$sin3x*sin9x=sin5x*sin7x$

$\frac{1}{2} (cos(3x-9x)-cos(3x+9x))= \frac{1}{2} (cos(5x-7x)-cos(5x+7x))$

$\frac{1}{2} (cos6x-cos12x)= \frac{1}{2} (cos2x-cos12x)$

$cos6x-cos12x=cos2x-cos12x$

$cos6x-cos12x-cos2x+cos12x=0$

$cos6x-cos2x=0$

$-2sin4x*sin2x=0$

$sin4x*sin2x=0$

$sin4x=0$  или  $sin2x=0$

$4x= \pi n,$ $n$∈$Z$  или $2x= \pi k,$ $k$∈$Z$

$x= \frac{ \pi n}{4},$ $n$∈$Z$  или  $x= \frac{ \pi k}{2},$ $k$∈$Z$

Answer 2

Для решения данного уравнения: ``` sin(3x) * sin(9x) = sin(5x) * sin(7x) ``` мы можем применить тригонометрическое тождество для произведения синусов: ``` sin(A) * sin(B) = (1/2) * (cos(A - B) - cos(A + B)) ``` Заменим A на 3x и B на 9x в левой части уравнения, а A на 5x и B на 7x в правой части уравнения: ``` (1/2) * (cos(3x - 9x) - cos(3x + 9x)) = (1/2) * (cos(5x - 7x) - cos(5x + 7x)) ``` Упрощаем: ``` (1/2) * (cos(-6x) - cos(12x)) = (1/2) * (cos(-2x) - cos(12x)) ``` Теперь мы можем сократить эти общие части уравнения: ``` cos(-6x) - cos(12x) = cos(-2x) - cos(12x) ``` Избавимся от cos(12x), вычитая его с обеих сторон: ``` cos(-6x) = cos(-2x) ``` Так как cos(-θ) = cos(θ), мы можем привести уравнение к виду: ``` cos(6x) = cos(2x) ``` Теперь мы можем рассмотреть два случая:

Случай 1: ``` 6x = 2x + 2πk, где k - целое число ``` Решим это уравнение для x: ``` 4x = 2πk x = (π/2)k ``` Таким образом, одно из решений - это x = (π/2)k, где k - целое число.

Случай 2: ``` 6x = -2x + 2πk, где k - целое число ``` Решим это уравнение для x: ``` 8x = 2πk x = (π/4)k ``` Таким образом, другое решение - это x = (π/4)k, где k - целое число.

Итак, уравнение sin(3x) * sin(9x) = sin(5x) * sin(7x) имеет два набора решений: 1. x = (π/2)k, где k - целое число. 2. x = (π/4)k, где k - целое число.