Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у = 1/2 х^2 и у = 4 - х.

Answer 1

Решение на фотографии

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной двумя функциями \(y = \frac{1}{2}x^2\) и \(y = 4 - x\), нужно найти точки их пересечения, а затем использовать интеграл для расчета площади между ними.

Найти точки пересечения

Для начала найдем точки пересечения двух функций. Это можно сделать, приравняв уравнения друг к другу: \[ \frac{1}{2}x^2 = 4 - x \]

Решив это уравнение, мы найдем значения \(x\), в которых функции пересекаются.

Найти площадь между функциями

После того как мы найдем точки пересечения, мы можем использовать интеграл для расчета площади между функциями. Формула для расчета площади между двумя функциями на интервале \([a, b]\) выглядит следующим образом: \[ \int_{a}^{b} |f(x) - g(x)| \, dx \]

Где \(f(x)\) и \(g(x)\) - функции, ограничивающие фигуру.

Решение

Давайте начнем с нахождения точек пересечения двух функций: \[ \frac{1}{2}x^2 = 4 - x \] Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ x^2 = 8 - 2x \] Перенесем все элементы в одну сторону уравнения: \[ x^2 + 2x - 8 = 0 \] Теперь решим квадратное уравнение: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Где \(a = 1\), \(b = 2\), \(c = -8\).

Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4*1*(-8) = 4 + 32 = 36 \] \[ \sqrt{D} = \sqrt{36} = 6 \]

Теперь найдем значения \(x\): \[ x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = 2 \] \[ x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = -4 \]

Итак, у нас есть две точки пересечения: \((2, 4)\) и \((-4, 8)\). Теперь мы можем использовать интеграл для расчета площади между функциями на интервале от \(-4\) до \(2\): \[ \int_{-4}^{2} |(\frac{1}{2}x^2) - (4 - x)| \, dx \]

Расчет этого интеграла даст нам площадь фигуры, ограниченной данными функциями.