Question

1. К числу приписали все цифры от 1 до 9 (в случайные места). Оказалось, что полученное число делится на 9. Доказать, что исходное тоже делится на 9 2. Петя написал число. Вася поменял в нем цифры местами и полученное число приписал в конец Петиного числа. Полученное число делится на 3. Докажите, что число Пети тоже делится на 3. 3. Число возвели в квадрат. У полученного числа посчитали сумму цифр и получили 152. Может ли такое быть?

Answer 1

1) Число делится на 9 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 9

Сумма приписанных цифр от 1 до 9 равна 45, это число делится на 9. Значит, если число с приписанными цифрами делится на 9, сумма его цифр делится на 9. В таком случае, число без приписанных цифр тоже делится на 9. Почему это так: сумма цифр числа без приписанных 1...9 меньше суммы цифр числа с приписанными цифрами на 45 (которое кратно 9).

2) Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3.

Сумма цифр Васиного числа в 2 раза больше, чем сумма цифр Петиного числа, и делится на 3. Значит сумма цифр в Петином числе сама обязана делиться на 3. Значит на 3 делится само Петино число

3) Сумма цифр числа всегда имеет тот же остаток от деления на 9, что и само число. Доказательство:

$\overline{ab...xyz} = z + 10y + 10^2x+...10^{N-2}b+ 10^{N-1}a = \\ =[z+y+x+...+b+a]+9y+99x+... (10^{N-2}-1)b+(10^{N-1}-1)a$

где N - количество цифр в числе. Все числа вне квадратных скобок в последнем выражении делятся на 9, значит само число имеет тот же остаток от деления на 9, что и выражение в квадратных скобках, а это сумма цифр числа.

152 имеет остаток 8 при делении на 9.
Посмотрим, какие остатки могут иметь квадраты натуральных чисел при делении на 9. Для этого достаточно рассмотреть остатки квадратов возможных остатков при делении на 9

Остаток - квадрат остатка - остаток квадрата остатка

0 - 0 - 0
1 - 1 - 1
2 - 4 - 4
3 - 9 - 0
4 - 16 - 7
5 - 25 - 7
6 - 36 - 0
7 - 49 - 4
8 - 64 - 1

Таким образом, квадрат натурального числа не может иметь остатка 8 при делении на 9. Значит сумма цифр не могла быть равна 152.