Question

Имеется такой дуффур: (2x+3y-1)dx+(4x+6y-5)dy=0. Нужно решить его заменой переменных. Понимаю, что нужно брать 2x-3y=u. Но не могу никак понять момент, как дальше считать, как переходить от dx и dy к du. Прошу объяснить, без всяких лишних слов, именно момент перехода на данном примере.

Answer 1

$(2x+3y-1)dx+(4x+6y-5)dy=0\\\\\frac{dy}{dx}=-\frac{2x+3y-1}{4x+6y-5}\quad \\\\u=2x+3y\; \; \to \; \; \frac{dy}{dx}=-\frac{u-1}{2u-5}\quad (\star )\\\\du=2dx+3dy\; \to \; \frac{du}{dx}=2+3\frac{dy}{dx}\; \to \\\\\frac{dy}{dx}=\frac{1}{3}\cdot (\frac{du}{dx}-2)\quad (\star \star )\\\\(\star )=(\star \star )\\\\\frac{1}{3}(u'-2)=-\frac{u-1}{2u-5}\; ;\; u'-2=\frac{3-3u}{2u-5}\\\\u'=2+\frac{3-3u}{2u-5}=\frac{4u-10+3-3u}{2u-5}=\frac{u-7}{2u-5}\\\\\frac{du}{dx}=\frac{u-7}{2u-5}\\\\\frac{2u-5}{u-7}\cdot du=dx$

$\int (2+\frac{9}{u-7})du=\int dx\\\\2u+9\cdot ln|u-7|=x+C\\\\2(2x+3y)+9\cdot ln|2x+3y-7|=x+C$