Question

Окружность с центром О(5;4) отсекает от прямой х+2у-3=0 хорду длиной 8. Вычислите длину окружности и площадь круга, ограничиваемой данной окружностью

Answer 1

Пусть точки пересечения прямой и окружности (концы хорды) будут M(x1;y1) и N(x2;y2)
Тогда можно записать систему уравнений:
x1+2y1-3 =0 - точка М лежит на прямой
x2+2y2-3 =0 - точка N лежит на прямой
(x1-x2)^2+(y1-y2)^2 = 8^2 - квадрат длины хорды
(x1-5)^2+(y1-4)^2 = (x2-5)^2+(y2-4)^2 - квадрат радиуса окружности

выразим x через y и произведем вычисления

x1 = 3-2y1
x2 = 3 -2y2
(3-2y1 -3+2y2)^2+(y1-y2)^2 =64
(3-2y1-5)^2+(y1-4)^2=(3-2y2-5)^2+(y2-4)^2

x1 = 3-2y1
x2 = 3 -2y2
(2y2-2y1)^2 + (y1-y2)^2 =64
(8-2y1)^2+(y1-4)^2 = (8-2y2)^2+(y2-4)^2

x1 = 3-2y1
x2 = 3 -2y2
4(y1-y2)^2 + (y1-y2)^2 =64
4(y1-4)^2+(y1-4)^2 = 4(y2-4)^2+(y2-4)^2

x1 = 3-2y1
x2 = 3 -2y2
5(y1-y2)^2 =64
5(y1-4)^2 = 5(y2-4)^2

x1 = 3-2y1
x2 = 3 -2y2
!y1-y2! = 8/√5
(y1-4)^2 = (y2-4)^2

x1 = 3-2y1
x2 = 3 -2y2
!y1-y2! = 8/√5   (! ! - модуль)
!y1-4!=!y2-4!

Т.к. заданная прямая наклонена к оси x( не параллельна ей), то на ней не может быть двух точек с одинаковыми ординатами, значит, надо в последнем уравнении взять одно выражение со знаком "+" (пусть слева), а другое - со знаком "-" (пусть справа), т.е.
y1-4 = -(y2-4)
y1-4 = -y2+4
y1 = -y2 +8
Подставим это  значение y1 в 3-е уравнение
!y1-y2! = 8/√5
!-y2+8-y2! =  8/√5
!-2y2+8! = 8/√5
a) -2y2+8>=0, тогда
-2y2+8 = 8/√5
2y2 = 8 - 8/√5
y2 = 4 - 4/√5
y1 = -y2+8 = -4+4/√5+8 = 4+ 4/√5
x1= 3-2y1 = 3 -2(4+ 4/√5)= 3-8-8/√5 = - 5 -8/√5
x2= 3-2y2= 3 -2(4 - 4/√5) = 3- 8+8/√5 = -5+8/√5

б) -2y2+8>=0, тогда
-2y2+8 = - 8/√5
2y2-8 = 8/√5
y2-4 = 4/√5
y2 = 4+4/√5 - видно, что как и в случае а), только точки M и N поменялись местами.

Оставим только случай а). Получим точки М(- 5 -8/√5;  4+ 4/√5) и N(-5+8/√5; 4 - 4/√5)
r^2 = (x1-5)^2+(y1-4)^2 =(- 5 -8/√5-5)^2+(4+ 4/√5-4)^2 =(-10 -8/√5)^2+(4/√5)^2=
=(10+8/√5)^2+16/5= 100+160/√5+64/5+16/5 = 100+160/√5+80/5= 100+160/√5+16 =
116+160*√5/5 = 116+32√5
r= корень(116+32√5)=2*корень(29+8√5)
l =2πr = 2*π*4*корень(29+8√5) = 8π*корень(29+8√5) - длина окружности
s =πr^2=π*(116+32√5) = 4π*(29+8√5)