Question

Известно, что общая масса трех учеников не менее 120 кг. Когда их взвесили по двое, то весы показали не более 100 кг, не более 80кг и не более 60 кг. Каковы массы этих учащихся? Напишите развернутое решение.

Answer 1

А+в+с=120
а+в=100
в+с=80
с+а=60
в=100-а
с=60-а
а+100-а+60-а=120
-а=120-160
а=40 кг
в=100-40=60 кг 
с=60-40=20 кг
ответ: 40; 60; 20

Answer 2

Давайте обозначим массу первого ученика за \(m_1\), второго - за \(m_2\), и третьего - за \(m_3\).

Условие гласит, что общая масса трех учеников не менее 120 кг:

\[m_1 + m_2 + m_3 \geq 120\]

Когда их взвесили по двое, весы показали не более 100 кг, не более 80 кг и не более 60 кг. Давайте рассмотрим все три комбинации:

1. Для весов не более 100 кг:

\[m_1 + m_2 \leq 100\] \[m_2 + m_3 \leq 100\] \[m_1 + m_3 \leq 100\]

2. Для весов не более 80 кг:

\[m_1 + m_2 \leq 80\] \[m_2 + m_3 \leq 80\] \[m_1 + m_3 \leq 80\]

3. Для весов не более 60 кг:

\[m_1 + m_2 \leq 60\] \[m_2 + m_3 \leq 60\] \[m_1 + m_3 \leq 60\]

Теперь объединим эти условия:

\[m_1 + m_2 + m_3 \geq 120\] \[m_1 + m_2 \leq 100\] \[m_2 + m_3 \leq 100\] \[m_1 + m_3 \leq 100\] \[m_1 + m_2 \leq 80\] \[m_2 + m_3 \leq 80\] \[m_1 + m_3 \leq 80\] \[m_1 + m_2 \leq 60\] \[m_2 + m_3 \leq 60\] \[m_1 + m_3 \leq 60\]

Теперь давайте решим эту систему неравенств. Для простоты предположим, что все массы \(m_1\), \(m_2\), \(m_3\) положительны.

Рассмотрим условие \(m_1 + m_2 + m_3 \geq 120\). Поскольку мы предполагаем, что массы положительны, то из этого условия следует, что \(m_1 + m_2 \geq 60\), \(m_2 + m_3 \geq 60\) и \(m_1 + m_3 \geq 60\).

Теперь объединим эти условия с оставшимися:

\[m_1 + m_2 \geq 60\] \[m_2 + m_3 \geq 60\] \[m_1 + m_3 \geq 60\] \[m_1 + m_2 \leq 100\] \[m_2 + m_3 \leq 100\] \[m_1 + m_3 \leq 100\] \[m_1 + m_2 \leq 80\] \[m_2 + m_3 \leq 80\] \[m_1 + m_3 \leq 80\] \[m_1 + m_2 \leq 60\] \[m_2 + m_3 \leq 60\] \[m_1 + m_3 \leq 60\]

Теперь мы видим, что у нас есть несколько систем уравнений. Рассмотрим каждую поочередно.

1. Если \(m_1 + m_2 \geq 60\), \(m_1 + m_2 \leq 100\) и \(m_1 + m_2 \leq 80\), то получаем:

\[m_1 + m_2 \leq 80\]

2. Если \(m_2 + m_3 \geq 60\), \(m_2 + m_3 \leq 100\) и \(m_2 + m_3 \leq 80\), то получаем:

\[m_2 + m_3 \geq 60\]

3. Если \(m_1 + m_3 \geq 60\), \(m_1 + m_3 \leq 100\) и \(m_1 + m_3 \leq 80\), то получаем:

\[m_1 + m_3 \geq 60\]

Теперь у нас есть система из трех неравенств:

\[m_1 + m_2 \leq 80\] \[m_2 + m_3 \geq 60\] \[m_1 + m_3 \geq 60\]

Теперь найдем значения \(m_1\), \(m_2\) и \(m_3\), удовлетворяющие этой системе.

Предположим, что \(m_2 = 60\). Тогда из первого уравнения следует \(m_1 \leq 20\), а из третьего уравнения \(m_3 \geq 40\).

Таким образом, возможное решение: \(m_1 = 20\), \(m_2 = 60\), \(m_3 = 40\).

Теперь проверим, что оно удовлетворяет всем остальным условиям:

\[m_1 + m_2 + m_3 = 20 + 60 + 40 = 120\] (удовлетворяет условию общей массы)

\[m_1 + m_2 = 20 + 60 = 80 \leq 80\]

\[m_2 + m_3 = 60 + 40 = 100 \leq 100\]

\[m_1 + m_3 = 20 + 40 = 60 \leq 60\]

Таким образом, решение \(m_1 = 20\), \(m_2 = 60\), \(m_3 = 40\) удовлетворяет всем условиям задачи.