Question

Дана функция f(x)=x^3-3x^2+1 а)найти промежутки возрастания и убывания б)наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке [-2;1]

Answer 1

а)1)Находим производную функции f(x): f'(x)=3x^2-6x;
 2)Приравниваем производную к нулю: 3х^2-6x=0 и определяем стационарные точки:
3x(x-2)=0  x1=0  x2=2 
3) Определяем на числовой прямой знаки, от минус бесконечности до 0 знак +(числаа подставляем не в уравнение, а в производную), от 0 до 2 знак -, от 2 до плюс бесконечности знак +. Значит функция убывает на тех промежутках, где знак минус, а возрастает,где знак плюс.
 б) Определяем наибольшее и наименьшее значение функции. находим значение функции при x=-2 и x=1 и в стационарных точках, т.е 0 и 2
при х=0, у=1, при х=2 у=-3, при х=-2 у=-19, при х=1 у=-1
Значит у наибольшее 1, у наименьшее -19. 

Answer 2

Конечно, разберём эту функцию шаг за шагом.

Итак, дана функция \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 1 \).

а) Промежутки возрастания и убывания функции:

Чтобы найти промежутки возрастания и убывания функции, нам нужно найти её производную \( f'(x) \) и решить неравенство \( f'(x) > 0 \) для промежутков возрастания и \( f'(x) < 0 \) для убывания.

Первая производная функции \( f(x) \) равна:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 1) \]

\[ f'(x) = 3x^2 - 6x \]

Теперь найдём точки, где \( f'(x) = 0 \), это поможет определить точки перегиба функции:

\[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \]

Отсюда получаем две точки: \( x = 0 \) и \( x = 2 \).

Теперь построим таблицу знаков производной:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & x < 0 & 0 < x < 2 & x > 2 \\ \hline f'(x) & - & + & + \\ \hline \end{array} \]

Из этой таблицы следует, что функция возрастает на интервалах \( (0, 2) \) и убывает на интервалах \( (-\infty, 0) \) и \( (2, +\infty) \).

б) Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке \([-2;1]\):

1. Найдём значения функции на концах отрезка \(x = -2\) и \(x = 1\):

При \(x = -2\): \[ f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 + 1 = -8 - 12 + 1 = -19 \]

При \(x = 1\): \[ f(1) = 1^3 - 3(1)^2 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \]

2. Теперь найдём критические точки внутри интервала \([-2;1]\). У нас есть две критические точки: \(x = 0\) и \(x = 2\). Однако, \(x = 2\) находится за пределами данного отрезка. Таким образом, нам нужно рассмотреть только \(x = 0\).

При \(x = 0\): \[ f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 1 = 1 \]

Теперь сравним найденные значения: \(f(-2) = -19\), \(f(0) = 1\), \(f(1) = -1\). Наибольшее значение функции на отрезке \([-2;1]\) равно 1 (достигается при \(x = 0\)), а наименьшее значение равно -19 (достигается при \(x = -2\)).

Итак, мы нашли промежутки возрастания и убывания функции, а также наибольшее и наименьшее значения функции на заданном отрезке.