Question

Как решить__ tg 3пи/8 tg пи/8+1

Answer 1

Tg 3pi/8 tg pi/8  + 1 = 

tg 3pi /8 ctg(pi/2 - pi/8) + 1 = 

tg 3pi/ 8 * ctg (3pi/8) + 1 = 1 + 1 = 2

Answer 2

Для решения данного уравнения с тригонометрическими функциями будем использовать тригонометрические тождества.

Имеем уравнение:

\[ \tan \left( \frac{3\pi}{8} \right) \cdot \tan \left( \frac{\pi}{8} \right) + 1 \]

Используем следующее тригонометрическое тождество:

\[ \tan(A) \cdot \tan(B) = \frac{\sin(A) \cdot \sin(B)}{\cos(A) \cdot \cos(B)} \]

Подставим значения:

\[ \tan \left( \frac{3\pi}{8} \right) \cdot \tan \left( \frac{\pi}{8} \right) = \frac{\sin \left( \frac{3\pi}{8} \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{8} \right)}{\cos \left( \frac{3\pi}{8} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{8} \right)} \]

Сначала посчитаем значения синусов и косинусов для \(\frac{3\pi}{8}\) и \(\frac{\pi}{8}\).

\(\sin \left( \frac{3\pi}{8} \right)\) и \(\cos \left( \frac{3\pi}{8} \right)\):

Используем формулу половинного угла \(\sin \left( \frac{3\pi}{8} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{8} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{8} \right) + \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{8} \right)\).

Значения \(\sin \left( \frac{\pi}{4} \right)\) и \(\cos \left( \frac{\pi}{4} \right)\) известны:

\(\sin \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\), \(\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}\).

Теперь вычислим:

\(\sin \left( \frac{\pi}{8} \right)\) и \(\cos \left( \frac{\pi}{8} \right)\):

Используем формулу половинного угла \(\sin \left( \frac{\pi}{8} \right) = \sqrt{\frac{1 - \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)}{2}}\) и \(\cos \left( \frac{\pi}{8} \right) = \sqrt{\frac{1 + \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)}{2}}\).

Подставим полученные значения в выражение для \(\tan \left( \frac{3\pi}{8} \right) \cdot \tan \left( \frac{\pi}{8} \right)\):

\[ \frac{\sin \left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{8} \right) + \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) \cdot \sin \left( \frac{\pi}{8} \right)}{\cos \left( \frac{3\pi}{8} \right) \cdot \cos \left( \frac{\pi}{8} \right)} \]

\[ = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\frac{1 + \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)}{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\frac{1 - \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)}{2}}}{\cos \left( \frac{3\pi}{8} \right) \cdot \sqrt{\frac{1 + \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1 - \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)}{2}}} \]

Теперь используем формулы для косинуса угла суммы и косинуса удвоенного угла:

\[ \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \] \[ \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{\frac{1 + \cos \left( \frac{\pi}{2} \right)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + 0}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \]

\[ \cos \left( \frac{3\pi}{8} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{8} \right) = \sqrt{\frac{1 - \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2}} \]

Подставляем полученные значения:

\[ \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\frac{1 + \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1 - \cos \left( \frac{\pi}{4} \right)}{2}}}} \]

\[ = \frac{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2}} \cdot \sqrt{\frac{1 + \frac{1}{\sqrt{2}}}{2}} \cdot \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}{2}}}} \]

\[ = \frac{1}{\frac{\sqrt{2} - 1}{2\sqrt{2}} \cdot \