Question

Дано число а=2^2015+3^2014. Найти последнюю цифру числа а и лстаток от деления а на 11

Answer 1

2^(4k)=16^k=10A+6                              3^(4k)= 81^k= 10E+1
2^(4k+1) = 10B+2                                 3^(4k+1) = 10F+ 3
2^(4k+2)=10C+4                                   3^(4k+2) = 10G + 9
2^(4k+3)=10D+8                                   3^(4k+3) = 10H + 7
2^2015 = 2^(4*503+3) = 10M+8              3^2014 = 3^(4*503+2) = 10N+ 9
             a=10M+8 + 10N+9 = 10K+7 :   т.е.  последняя  цифра  а  7.
2^2015+3^2014=2^(5*403)+3^(5*402+4)=32^403+3^4 * 243^402 = 
= (33 - 1)^403 + 81 * (242 +1)^402 = (11*3 - 1)^403 + 81*(11*22+1)^402 =
 = 11*Q - 1 + 81* (11R+1)= 11S +80 ,
             которое   при  делении 11  в  остатке  дает  3

Answer 2

Чтобы найти последнюю цифру числа \(а = 2^{2015} + 3^{2014}\), можно использовать методы модулярной арифметики и цикличности последних цифр.

Нахождение последней цифры числа \(а\):

1. Последняя цифра \(2^{2015}\): Рассмотрим цикл последних цифр чисел, возведенных в степени 2: \[ \begin{align*} 2^1 & : 2 \\ 2^2 & : 4 \\ 2^3 & : 8 \\ 2^4 & : 6 \\ \end{align*} \] Как видно, у степеней числа 2 цикличность последних цифр равна 4: \(2, 4, 8, 6\). Таким образом, \(2^{2015}\) имеет такую же последнюю цифру, как \(2^{2015 \mod 4}\).

\(2015 \mod 4 = 3\), поэтому последняя цифра \(2^{2015}\) будет такой же, как у \(2^3\), то есть 8.

2. Последняя цифра \(3^{2014}\): Рассмотрим цикл последних цифр чисел, возведенных в степени 3: \[ \begin{align*} 3^1 & : 3 \\ 3^2 & : 9 \\ 3^3 & : 7 \\ 3^4 & : 1 \\ \end{align*} \] Как видно, у степеней числа 3 цикличность последних цифр равна 4: \(3, 9, 7, 1\). Таким образом, \(3^{2014}\) имеет такую же последнюю цифру, как у \(3^{2014 \mod 4}\).

\(2014 \mod 4 = 2\), поэтому последняя цифра \(3^{2014}\) будет такой же, как у \(3^2\), то есть 9.

3. Сумма последних цифр \(2^{2015}\) и \(3^{2014}\): Последняя цифра числа \(а\) равна последней цифре суммы \(2^{2015}\) и \(3^{2014}\). \(8 + 9 = 17\), последняя цифра суммы равна 7.

Нахождение остатка от деления числа \(а\) на 11:

Теперь найдем остаток от деления \(а\) на 11. Для этого можно воспользоваться тем, что остаток от деления суммы двух чисел на число равен остатку от суммы остатков от деления этих чисел на это число.

Остаток от деления \(2^{2015}\) на 11 можно найти с помощью малой теоремы Ферма, которая утверждает, что если \(p\) - простое число и \(a\) не делится на \(p\), то \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}\). Для \(p = 11\) получаем \(2^{10} \equiv 1 \pmod{11}\). Таким образом, \(2^{2015} = 2^{10 \cdot 201 + 5} = (2^{10})^{201} \cdot 2^5 \equiv 1^{201} \cdot 32 \equiv 32 \equiv 10 \pmod{11}\).

Остаток от деления \(3^{2014}\) на 11 можно найти аналогичным образом: \(3^{10} \equiv 1 \pmod{11}\), следовательно, \(3^{2014} = 3^{10 \cdot 201 + 4} = (3^{10})^{201} \cdot 3^4 \equiv 1^{201} \cdot 81 \equiv 81 \equiv 4 \pmod{11}\).

Теперь найдем остаток от деления \(а\) на 11:

\[а = 2^{2015} + 3^{2014} \equiv 10 + 4 \equiv 14 \equiv 3 \pmod{11}\]

Итоговый ответ:

Последняя цифра числа \(а\) равна 7, а остаток от деления числа \(а\) на 11 равен 3.