Question

1.В здании 1000 лампочек. Вероятность выхода из строя одной лампочки в течение года p =0,003. Найдем вероятность того, что в течение одного года выйдет из строя более трех ламп. 2. Монета бросается 100 раз. Какова вероятность того, что герб откроется от 40 до 60 раз включительно?

Answer 1

1) 0.03*3 = 0.09
2) 1/5

Answer 2

1. Вероятность выхода из строя более трех лампочек:

Пусть \( X \) - количество вышедших из строя лампочек в течение года. Это случайная величина, распределенная по биномиальному закону, так как каждая лампочка может выйти из строя (событие успеха) с вероятностью \( p = 0.003 \), и это независимые события. Также мы знаем, что в здании 1000 лампочек.

Итак, мы ищем вероятность \( P(X > 3) \).

\[ P(X > 3) = 1 - P(X \leq 3) \]

Для вычисления \( P(X \leq 3) \) мы можем воспользоваться формулой биномиального распределения:

\[ P(X \leq 3) = \sum_{k=0}^{3} C(1000, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{1000-k} \]

Где \( C(n, k) \) - биномиальный коэффициент "n по k".

Теперь мы можем подставить значения и решить:

\[ P(X > 3) = 1 - \sum_{k=0}^{3} C(1000, k) \cdot (0.003)^k \cdot (1-0.003)^{1000-k} \]

2. Вероятность того, что герб выпадет от 40 до 60 раз включительно:

В данном случае, мы также имеем дело с биномиальным распределением, где \( n = 100 \) (число бросков монеты), \( p \) - вероятность выпадения герба при одном броске.

По формуле биномиального распределения вероятность \( P(X=k) \) задается как:

\[ P(X = k) = C(100, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{100-k} \]

Теперь, чтобы найти вероятность того, что герб выпадет от 40 до 60 раз включительно, мы должны сложить вероятности для \( k \) от 40 до 60:

\[ P(40 \leq X \leq 60) = \sum_{k=40}^{60} C(100, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{100-k} \]

Здесь \( p \) - вероятность выпадения герба.

Answer 3

Для решения обоих задач, мы можем использовать биномиальное распределение.

Задача 1: Лампочки

Пусть \( X \) - количество лампочек, которые выйдут из строя в течение года. Вероятность выхода из строя одной лампочки \( p = 0.003 \).

Тогда вероятность того, что более трех лампочек выйдут из строя, равна:

\[ P(X > 3) = 1 - P(X \leq 3) \]

Для нахождения \( P(X \leq 3) \) используем формулу биномиального распределения:

\[ P(X=k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где \( C(n, k) \) - число сочетаний из \( n \) по \( k \) (т.е. количество способов выбрать \( k \) элементов из \( n \)).

\[ P(X \leq 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) \]

\[ P(X > 3) = 1 - P(X \leq 3) \]

Решение:

\[ P(X=k) = C(1000, k) \cdot 0.003^k \cdot (1-0.003)^{1000-k} \]

\[ P(X \leq 3) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) \]

\[ P(X > 3) = 1 - P(X \leq 3) \]

Задача 2: Монета

Пусть \( Y \) - количество выпадений герба при бросании монеты 100 раз. Вероятность выпадения герба в каждом броске \( p_{\text{герб}} = 0.5 \).

Тогда вероятность того, что герб выпадет от 40 до 60 раз включительно, равна:

\[ P(40 \leq Y \leq 60) = P(Y \leq 60) - P(Y < 40) \]

Используем биномиальное распределение:

\[ P(Y=k) = C(100, k) \cdot (0.5)^k \cdot (1-0.5)^{100-k} \]

\[ P(Y \leq 60) = P(Y=0) + P(Y=1) + \ldots + P(Y=60) \]

\[ P(Y < 40) = P(Y=0) + P(Y=1) + \ldots + P(Y=39) \]

\[ P(40 \leq Y \leq 60) = P(Y \leq 60) - P(Y < 40) \]

Решение:

\[ P(Y=k) = C(100, k) \cdot 0.5^k \cdot 0.5^{100-k} \]

\[ P(Y \leq 60) = P(Y=0) + P(Y=1) + \ldots + P(Y=60) \]

\[ P(Y < 40) = P(Y=0) + P(Y=1) + \ldots + P(Y=39) \]

\[ P(40 \leq Y \leq 60) = P(Y \leq 60) - P(Y < 40) \]

Пожалуйста, уточните, если вам нужны численные значения или более подробные вычисления.