Question

Найдите числа х и у, если известно, что х/у=5/2 и НОД (х,у)=3

Answer 1

По-моему,это числа 15 и 6

Answer 2

Давайте обозначим числа \(x\) и \(y\), а также их наибольший общий делитель (НОД) как \(d\).

У нас дано, что \(\frac{x}{y} = \frac{5}{2}\) и \(\text{НОД}(x, y) = 3\).

Мы можем представить числа \(x\) и \(y\) следующим образом:

\[ x = 3a, \quad y = 3b, \quad \text{где } a \text{ и } b \text{ - взаимно простые числа} \]

Теперь подставим эти выражения в уравнение \(\frac{x}{y} = \frac{5}{2}\):

\[\frac{3a}{3b} = \frac{5}{2}\]

Упростим уравнение, умножив обе стороны на \(2b\):

\[2a = \frac{15b}{2}\]

Теперь выразим \(a\) через \(b\):

\[a = \frac{15b}{4}\]

Таким образом, мы нашли общее выражение для числа \(x\) в зависимости от параметра \(b\). Теперь давайте рассмотрим условие \(\text{НОД}(x, y) = 3\). Мы знаем, что \(x = 3a\) и \(y = 3b\), следовательно, \(\text{НОД}(3a, 3b) = 3\).

Так как \(a\) и \(b\) взаимно простые, то \(\text{НОД}(3, b) = 1\). Это возможно только в том случае, если \(b\) нечетное, так как в противном случае \(\text{НОД}(3, b)\) также будет четным.

Итак, мы нашли, что \(b\) - нечетное число. Пусть \(b = 2k + 1\), где \(k\) - целое число.

Теперь подставим это значение обратно в выражение для \(a\):

\[a = \frac{15(2k+1)}{4} = \frac{30k + 15}{4} = 7k + 3\]

Таким образом, у нас есть общие выражения для \(x\) и \(y\):

\[x = 3a = 3(7k + 3) = 21k + 9\] \[y = 3b = 3(2k + 1) = 6k + 3\]

Таким образом, любые целочисленные значения \(k\) будут соответствовать числам \(x\) и \(y\), удовлетворяя условиям задачи.