Question

Найдите значения a и b,при которых система уравнений ax-y=4 4x=3y=b а)имеет бесконечно много решений б)не имеет решений

Answer 1

ДУМАЕМ
1. Множество решений - если уравнения просто равны. Графики прямых совпадают.
2. Не имеют решения -  если прямые параллельны и не пересекаются, не имеют решения.
РЕШЕНИЕ
Выделяем из уравнений Y
Y1 = aX - 4
Y2 = (4X-b)/3 = 4/3*X - b/3
1) a = 4/3 и -b/3 = -4  или b=12 - совпадают - совпадают - ОТВЕТ 1.
2) а = 4/3 - одинаковый коэффициент
b ≠ 2 - разные сдвиги по оси У. - параллельны - ОТВЕТ 2
Можно и графиками двух прямых показать.

Answer 2

Для того чтобы найти значения a и b, при которых система уравнений имеет бесконечно много решений или не имеет решений, рассмотрим каждый случай отдельно.

a) Если система уравнений имеет бесконечно много решений, это означает, что уравнения системы являются линейно зависимыми и выражают одну и ту же прямую. То есть у уравнений системы должны быть одинаковые коэффициенты при x и y.

Исходная система уравнений: 1) ax - y = 4 2) 4x = 3y + b

Для равенства коэффициентов при x и y в уравнениях системы получаем:

Система уравнений: 1) a = 4 2) 4 = 3

Уравнение 2) приводит к противоречию, так как 4 ≠ 3. Таким образом, система уравнений не имеет бесконечно много решений.

б) Если система уравнений не имеет решений, это означает, что уравнения системы являются линейно независимыми и соответствующие прямые не пересекаются.

Исходная система уравнений: 1) ax - y = 4 2) 4x = 3y + b

Перепишем уравнения в общем виде: 1) ax - y - 4 = 0 2) 3y - 4x + b = 0

Составим матрицу коэффициентов системы уравнений и решим уравнение для определения условий, при которых система не имеет решений:

| a -1 | | x | | 4 | | -4 3 | | y | = | -b |

Так как система не имеет решений, матрица коэффициентов должна быть вырожденной, то есть её определитель должен равняться нулю:

a*3 - (-1)*(-4) = 0 3a + 4 = 0 3a = -4 a = -4/3

Таким образом, система уравнений не имеет решений при a = -4/3 (любое значение b).

В итоге, при значениях a ≠ -4/3 и любых значениях b, система имеет единственное решение. При a = -4/3 и любых значениях b, система не имеет решений.