Question

Примеры решения квадратных неравенств

Answer 1

Есть два способа : графический (постороение параболы y = ax² + bx + c) и методом интервалов. 
1) Решив уравнение ax² + bx + c = 0, мы найдем те координаты x, в которых парабола пересекает ось x. Те части параболы, которые лежат выше оси x, - это положительные значения функции. Ниже оси x — отрицательные. В зависимости от знака квадратного неравенства указываются числовые промежутки, где функция y = ax² + bx + c принимает положительные или отрицательные значения.
2)
1. Определяются корни соответствующего трехчлену уравнения.
2. Квадратных трехчлен раскладывается на множители по формуле ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂), где x₁ и x₂ корни квадратного уравнения.
3. Выясняется, при каких значениях x (на каких интервалах) разложенный на множители трехчлен положителен или отрицателен.
4. В зависимости от знака квадратного неравенства определяется область значений, являющаяся его решением.

Answer 2

Решение квадратных неравенств

Решение квадратных неравенств может быть выполнено с использованием различных методов. Один из наиболее распространенных методов - это графический метод, который позволяет наглядно представить решение неравенства на числовой оси. Другой метод - это алгебраический метод, который использует свойства квадратных функций для нахождения решения.

Пример 1: Решение квадратного неравенства с помощью графического метода

Рассмотрим квадратное неравенство: x^2 - 4x + 3 > 0.

1. Найдем корни квадратного уравнения, соответствующего данному неравенству. Для этого приравняем выражение в неравенстве к нулю и решим уравнение: x^2 - 4x + 3 = 0. Корни этого уравнения равны x = 1 и x = 3.

2. Построим график функции y = x^2 - 4x + 3. Для этого можно использовать методы анализа функций или программы для построения графиков.

3. На основе графика функции определим интервалы, на которых функция положительна (выше оси x). В данном случае, функция положительна на интервалах (1, 3) и (-∞, 1) объединенное с (3, +∞).

4. Таким образом, решением данного неравенства является интервал (1, 3) объединенный с (-∞, 1) объединенный с (3, +∞).

Пример 2: Решение квадратного неравенства с помощью алгебраического метода

Рассмотрим квадратное неравенство: x^2 - 6x + 8 ≤ 0.

1. Найдем корни квадратного уравнения, соответствующего данному неравенству. Для этого приравняем выражение в неравенстве к нулю и решим уравнение: x^2 - 6x + 8 = 0. Корни этого уравнения равны x = 2 и x = 4.

2. Разложим квадратный трехчлен на множители: x^2 - 6x + 8 = (x - 2)(x - 4).

3. Используя свойства квадратных функций, определим знак выражения (x - 2)(x - 4) на разных интервалах числовой оси. Для этого можно использовать таблицу знаков или график функции.

4. На основе анализа знаков, определим интервалы, на которых выражение (x - 2)(x - 4) меньше или равно нулю. В данном случае, выражение меньше или равно нулю на интервале (2, 4) включительно.

5. Таким образом, решением данного неравенства является интервал (2, 4) включительно.

Это лишь два примера решения квадратных неравенств. Существует множество других методов и подходов к решению таких неравенств. Если у вас есть конкретное квадратное неравенство, с которым вы столкнулись, я могу помочь вам решить его более подробно.