Question

Найти интерполяционный многочлен Лагранжа P3(x), для которого P3(-1)=-11, P3(1)=-3, P3(3)=13.

Answer 1

$P_3(x)=a_o+a_1x+a_2x^2+a_3x^3\\ P_3(-1)=-11=\ \textgreater \ a_o-a_1+a_2-a_3=-11\\ P_3(1)=-3=\ \textgreater \ a_o+a_1+a_2+a_3=-3\\ P_3(2)=1=\ \textgreater \ a_o+2a_1+4a_2+8a_3=1\\ P_3(3)=13=\ \textgreater \ a_o+3a_1+9a_2+27a_3=13$
Решается система:
$\begin{cases} a_o-a_1+a_2-a_3=-11 \\a_o+a_1+a_2+a_3=-3\\ a_o+2a_1+4a_2+8a_3=1 \\ a_o+3a_1+9a_2+27a_3=13 \end{cases} \ \textless \ =\ \textgreater \ \begin{cases} a_o =-5 \\ a_1=3\\ a_2=-2 \\ a_3=1 \end{cases}$
Многочлен Лагранжа:
$P_3(x)=-5+3x-2x^2+x^3$

Answer 2

Интерполяционный многочлен Лагранжа — это многочлен минимальной степени, который принимает заданные значения в заданных точках. Для нахождения такого многочлена можно использовать формулу Лагранжа:

$$P_n(x) = \sum_{i=0}^n y_i l_i(x),$$

где $y_i$ — это заданные значения функции в точках $x_i$, а $l_i(x)$ — это базисные полиномы, определяемые по формуле:

$$l_i(x) = \prod_{j=0, j \neq i}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j}.$$

В данном случае, нам нужно найти интерполяционный многочлен третьей степени $P_3(x)$, для которого $P_3(-1)=-11$, $P_3(1)=-3$, $P_3(3)=13$. Значит, мы имеем четыре пары чисел: $(-1,-11)$, $(1,-3)$, $(3,13)$ и $(x,P_3(x))$. Подставляя их в формулу Лагранжа, получаем:

$$P_3(x) = -11 \cdot \frac{(x-1)(x-3)}{(-1-1)(-1-3)} - 3 \cdot \frac{(x+1)(x-3)}{(1+1)(1-3)} + 13 \cdot \frac{(x+1)(x-1)}{(3+1)(3-1)}$$

Упрощая выражение, получаем окончательный ответ:

$$P_3(x) = 3x^3 - 2x^2 - 12x - 1$$

Это и есть интерполяционный многочлен Лагранжа, который удовлетворяет заданным условиям. Вы можете проверить его, подставив значения $-1$, $1$ и $3$ вместо $x$ и убедившись, что получаются соответствующие значения $-11$, $-3$ и $13$.

Надеюсь, это помогло вам разобраться в теме. Если у вас есть еще вопросы, я с радостью на них отвечу.

: [Интерполяционный многочлен Лагранжа — Википедия](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%98%D0%BD%D1%82%D0%B5%D1%80%D0%BF%D0%BE%D0%BB%D1%8F%D1%86%D0%B8%D0%BE%D0%BD%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BC%D0%BD%D0%BE%D0%B3%D0%BE%D1%87%D0%BB%D0%B5%D0%BD_%D0%9B%D0%B0%D0%B3%D1%80%D0%B0%D0%BD%D0%B6%D0%B0)

Answer 3

Для задачи интерполяции по методу Лагранжа, нам даны значения функции P3(x) в трех точках: P3(-1) = -11, P3(1) = -3 и P3(3) = 13. Наша задача состоит в том, чтобы найти интерполяционный многочлен Лагранжа P3(x), который будет проходить через эти три точки.

Интерполяционный многочлен Лагранжа определяется следующим образом:

P3(x) = L0(x) * y0 + L1(x) * y1 + L2(x) * y2

где L0(x), L1(x) и L2(x) - лагранжевы базисные полиномы, а y0 = P3(-1), y1 = P3(1) и y2 = P3(3) - значения функции P3(x) в соответствующих точках.

Давайте найдем значения лагранжевых базисных полиномов для данной задачи.

Лагранжевы базисные полиномы:

Лагранжевы базисные полиномы определяются следующим образом:

L0(x) = (x - x1) * (x - x2) / (x0 - x1) * (x0 - x2)

L1(x) = (x - x0) * (x - x2) / (x1 - x0) * (x1 - x2)

L2(x) = (x - x0) * (x - x1) / (x2 - x0) * (x2 - x1)

где x0, x1 и x2 - значения x в точках, соответствующих значениям функции P3(x).

Решение:

Используя значения x0 = -1, x1 = 1 и x2 = 3, и значения y0 = -11, y1 = -3 и y2 = 13, подставим их в формулы лагранжевых базисных полиномов:

L0(x) = (x - 1) * (x - 3) / (-1 - 1) * (-1 - 3) = (x - 1) * (x - 3) / 2 * 4 = (x - 1) * (x - 3) / 8

L1(x) = (x + 1) * (x - 3) / (1 + 1) * (1 - 3) = (x + 1) * (x - 3) / 2 * (-2) = -(x + 1) * (x - 3) / 4

L2(x) = (x + 1) * (x - 1) / (3 + 1) * (3 - 1) = (x + 1) * (x - 1) / 4 * 2 = (x + 1) * (x - 1) / 8

Теперь, подставим значения лагранжевых базисных полиномов в формулу интерполяционного многочлена Лагранжа:

P3(x) = L0(x) * y0 + L1(x) * y1 + L2(x) * y2

P3(x) = ((x - 1) * (x - 3) / 8) * (-11) + (-(x + 1) * (x - 3) / 4) * (-3) + ((x + 1) * (x - 1) / 8) * 13

Раскрывая скобки и упрощая выражение, получим:

P3(x) = (11/8)x^2 - (3/4)x - (3/8)

Таким образом, интерполяционный многочлен Лагранжа P3(x), который проходит через точки P3(-1) = -11, P3(1) = -3 и P3(3) = 13, имеет вид:

P3(x) = (11/8)x^2 - (3/4)x - (3/8)