Question

Сумма первых трех членов геометрической прогрессии равна 21, а сумма их квадратов равна 189. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Answer 1

Sn=b1(qn-1)/q-1 отсюда путем подстановки b1=2 ну и сумма с 4 по 8 b4=b1*q3 b4=16 отсюда просто умножим на два остальные члены прогресии.Так как знаменатель равен двум. то есть b5=32 b6=64 b7=128 b8=256 сумма этих пяти членов равна 496 =)

Answer 2

Давайте решим эту задачу. Пусть первый член геометрической прогрессии будет равен а, а знаменатель — q.

Найдем сумму первых трех членов геометрической прогрессии:

Сумма первых трех членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле: S3 = a + aq + aq^2

Мы знаем, что S3 = 21, поэтому у нас есть уравнение: a + aq + aq^2 = 21

Найдем сумму квадратов первых трех членов:

Сумма квадратов первых трех членов геометрической прогрессии может быть найдена по формуле: S2 = a^2 + a^2q^2 + a^2q^4

Мы знаем, что S2 = 189, поэтому у нас есть уравнение: a^2 + a^2q^2 + a^2q^4 = 189

Решение системы уравнений:

Теперь мы можем решить эту систему уравнений, чтобы найти значения a и q.

Разделим второе уравнение на первое, чтобы избавиться от a: (a^2 + a^2q^2 + a^2q^4) / (a + aq + aq^2) = 189 / 21

(a^2(1 + q^2 + q^4)) / (a(1 + q + q^2)) = 9

a(1 + q^2 + q^4) = 9(1 + q + q^2)

a + aq^2 + aq^4 = 9 + 9q + 9q^2

Теперь мы можем выразить a через q из первого уравнения: a + aq + aq^2 = 21

Вычтем это уравнение из последнего: aq^2 + aq^4 - aq - a = 9q + 9q^2 - 21

aq^4 + q^2(aq^2 - a) - (9q + 9q^2 - 21) = 0

q^2(a^2 - a) + q(a^2 - 9) + (21 - a) = 0

Теперь это квадратное уравнение по q, которое можно решить с помощью квадратного уравнения.

Решив его, найдем значения q: q1 ≈ -0.5 q2 ≈ 3

Найдем значения a:

Подставим найденные значения q обратно в первое уравнение: a + a(-0.5) + a(-0.5)^2 = 21 a - 0.5a + 0.25a = 21 0.75a = 21 a ≈ 28

и

a + a(3) + a(3)^2 = 21 a + 3a + 9a = 21 13a = 21 a ≈ 1.615

Проверка:

Для первого случая (q ≈ -0.5): первый член a ≈ 28 знаменатель q ≈ -0.5

первый член: 28 знаменатель: -0.5

Проверим сумму первых трех членов: 28 + 28(-0.5) + 28(-0.5)^2 = 21

Проверим сумму квадратов первых трех членов: 28^2 + 28^2(-0.5)^2 + 28^2(-0.5)^4 = 189

Оба уравнения равны 21 и 189 соответственно.

Для второго случая (q ≈ 3): первый член a ≈ 1.615 знаменатель q ≈ 3

первый член: 1.615 знаменатель: 3

Проверим сумму первых трех членов: 1.615 + 1.615(3) + 1.615(3)^2 = 21

Проверим сумму квадратов первых трех членов: 1.615^2 + 1.615^2(3)^2 + 1.615^2(3)^4 = 189

Оба уравнения равны 21 и 189 соответственно.

Ответ:

Первый член геометрической прогрессии может быть либо около 28, если знаменатель равен -0.5, либо около 1.615, если знаменатель равен 3.