Question

В прямом параллелепипеда стороны основания равны 6 и 8 см, угол между ними 30 градусов. Площадь полной поверхности равна 188 см (квадратных). Определить объём параллелепипеда.

Answer 1

Sполн.пов=2Sосн+Sбок.пов
Sосн=6*8*sin30°=48*(1/2)=24
Sбок.пов=Росн*Н=2*(6+8)*Н=28*Н
188=2*24+28*Н
28*Н=140, Н=5 см

V=Sосн*H
V=24*5=120

V=120 см³

Answer 2

Давайте обозначим длину, ширину и высоту параллелепипеда как \(a\), \(b\) и \(h\) соответственно.

Из условия задачи известно, что стороны основания равны 6 и 8 см, а угол между ними равен 30 градусов. Это позволяет нам использовать тригонометрию для нахождения сторон основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, где катеты равны \(a\) и \(b\), а угол между ними равен 30 градусам. Тогда:

\[\tan(30^\circ) = \frac{a}{b}\]

Мы знаем, что \(\tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3}\), поэтому:

\[\frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{a}{b}\]

Отсюда мы можем выразить \(a\) через \(b\):

\[a = \frac{b\sqrt{3}}{3}\]

Теперь мы знаем, что площадь полной поверхности параллелепипеда равна 188 квадратным сантиметрам:

\[2(ab + ah + bh) = 188\]

Подставим выражение для \(a\):

\[2\left(\frac{b\sqrt{3}}{3} \cdot b + \frac{b\sqrt{3}}{3} \cdot h + bh\right) = 188\]

Упростим уравнение:

\[\frac{2}{3}b^2\sqrt{3} + \frac{2}{3}bh\sqrt{3} + 2bh = 188\]

\[b^2\sqrt{3} + bh\sqrt{3} + 3bh = 282\]

Теперь у нас есть уравнение, которое содержит две переменные (\(b\) и \(h\)). Однако мы знаем, что стороны основания равны 6 и 8 см. Поэтому мы можем подставить \(b = 8\) и решить уравнение для нахождения \(h\).

\[8^2\sqrt{3} + 8h\sqrt{3} + 3 \cdot 8h = 282\]

\[192\sqrt{3} + 24h\sqrt{3} = 282\]

\[24h\sqrt{3} = 282 - 192\sqrt{3}\]

\[h\sqrt{3} = \frac{90}{24}\sqrt{3}\]

\[h = \frac{15}{4}\]

Теперь у нас есть значения для \(b\) и \(h\). Мы можем использовать их, чтобы найти значение \(a\) и, наконец, объем параллелепипеда:

\[a = \frac{b\sqrt{3}}{3} = \frac{8\sqrt{3}}{3}\]

\[V = a \cdot b \cdot h = \frac{8\sqrt{3}}{3} \cdot 8 \cdot \frac{15}{4} = 160\sqrt{3}\]

Таким образом, объем параллелепипеда равен \(160\sqrt{3}\) кубическим сантиметрам.