Question

Знайти невизначений інтеграл методом заміни змінної ∫ √(2x+3)^3

Answer 1

$\int \sqrt{(2x+3)^3}dx=[\; t=2x+3\; ,\; dt=2dx\; \to \; dx=\frac{dt}{2}\; ]=\\\\=\frac{1}{2}\cdot \int t^{\frac{3}{2}}\, dt=\frac{1}{2}\cdot \frac{t^{5/2}}{5/2} +C=\frac{1}{5}\cdot (2x+3)^{\frac{5}{2}}+C=\\\\=\frac{1}{5}\cdot \sqrt{(2x+3)^5}+C$

Answer 2

Щоб знайти невизначений інтеграл ∫√(2x+3)^3, використаємо метод заміни змінної.

1. Зробимо заміну змінної: позначимо u = 2x + 3. Тоді, диференціал заміненої змінної буде: du = 2dx.

2. Перепишемо вираз під знаком кореня в новій змінній: √(2x+3)^3 = √u^3 = u^(3/2).

3. Виразимо dx через du: du = 2dx, dx = du/2.

4. Підставимо нові значення до початкового виразу: ∫√(2x+3)^3 dx = ∫u^(3/2) (du/2).

5. Розкриємо степінь: ∫u^(3/2) (du/2) = (1/2) ∫u^(3/2) du.

6. Знайдемо невизначений інтеграл ∫u^(3/2) du: Застосуємо формулу інтегрування степеневої функції: (1/2) ∫u^(3/2) du = (1/2) * (2/5) u^(5/2) + C, де C - довільна константа.

7. Підставимо назад початкову змінну: (1/2) * (2/5) u^(5/2) + C = (1/5) u^(5/2) + C.

8. Замінимо назад u на початкове вираження 2x + 3: (1/5) (2x + 3)^(5/2) + C.

Отже, невизначений інтеграл ∫√(2x+3)^3 дорівнює (1/5) (2x + 3)^(5/2) + C, де C - довільна константа.