Question

Пусть p простое число, большее 5. Докажите, что p − 4 не может быть четвертой степе- нью целого числа.

Answer 1

Пусть $p=a^4+4$ для некоторого натурального $a$.
Тогда $p=(a^4+4a^2+4)-4a^2=(a^2+2)^2-(2a)^2=(a^2-2a+2)(a^2+2a+2)$. Если $p>5$, то $a>1$. При таких $a$ каждая скобка в произведении - натуральное число, большее единицы, чего быть не может, так как $p$ - простое число.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом от противного.

Предположим, что p - 4 является четвертой степенью некоторого целого числа. То есть, существует целое число k такое, что (p - 4) = k^4.

Заметим, что (p - 4) может быть представлено в виде (p - 4) = (p - 5) + 1. Тогда выражение для k^4 можно переписать следующим образом:

(p - 4) = k^4 (p - 5) + 1 = k^4

Раскроем скобки:

p - 5 + 1 = k^4 p - 4 = k^4

Таким образом, имеем равенство p - 4 = k^4. Заметим, что левая часть равенства (p - 4) является простым числом, так как p - 4 > 5 и p - 4 не делится ни на одно простое число меньше его.

Теперь рассмотрим правую часть равенства k^4. Заметим, что для любого натурального числа k, значение k^4 всегда будет кратно 4. Это связано с тем, что любое число вида k^4 можно представить в виде (k^2)^2, то есть квадрат некоторого числа, а квадрат любого числа всегда делится на 4.

Таким образом, левая часть равенства (p - 4) является простым числом, а правая часть равенства k^4 делится на 4. Получаем противоречие, так как простое число не может делиться на 4.

Таким образом, предположение о том, что p - 4 является четвертой степенью некоторого целого числа, было неверным. Значит, p - 4 не может быть четвертой степенью целого числа.

Таким образом, доказано, что если p - простое число, большее 5, то p - 4 не может быть четвертой степенью некоторого целого числа.