Question

Решите уравнение ctg(5y+3x-7)*tg(2+4x-y)=1

Answer 1

 По известному соотношению 
   $tga*ctga=1$
 $5y+3x-7=2+4x-y\\ 6y-x=9\\ x=6y-9$
оно имеет бесконечно много решений 

Answer 2

Для начала давайте решим данное уравнение. Уравнение, которое нам дано, выглядит следующим образом:

ctg(5y+3x-7) * tg(2+4x-y) = 1

Для удобства, заменим ctg и tg на соответствующие тригонометрические функции:

cos(5y+3x-7) / sin(5y+3x-7) * sin(2+4x-y) / cos(2+4x-y) = 1

Теперь приведем уравнение к общему виду:

cos(5y+3x-7) * sin(2+4x-y) = sin(5y+3x-7) * cos(2+4x-y)

Используя формулу двойного угла для синуса, получим:

sin(5y+3x-7+2+4x-y) = sin(5y+3x-7) * cos(2+4x-y) + cos(5y+3x-7) * sin(2+4x-y)

Упростим выражение:

sin(6x+4y-5) = sin(5y+3x-7) * cos(2+4x-y) + cos(5y+3x-7) * sin(2+4x-y)

Возможны два случая: когда sin(6x+4y-5) равен нулю и когда он не равен нулю.

Первый случай: sin(6x+4y-5) = 0

Так как sin(6x+4y-5) = 0, то можно сделать вывод, что 6x+4y-5 = kπ, где k - целое число.

6x + 4y = 5 + kπ

Второй случай: sin(6x+4y-5) ≠ 0

В этом случае, мы можем разделить обе части уравнения на sin(6x+4y-5), получим:

1 = (sin(5y+3x-7) * cos(2+4x-y) + cos(5y+3x-7) * sin(2+4x-y)) / sin(6x+4y-5)

Упростим полученное выражение и приведем к общему виду:

sin(6x+4y-5) = sin(5y+3x-7) * cos(2+4x-y) + cos(5y+3x-7) * sin(2+4x-y)

Таким образом, уравнение имеет два общих решения: когда sin(6x+4y-5) равен нулю и когда он не равен нулю. В первом случае, решение представляет собой уравнение прямой 6x + 4y = 5 + kπ, где k - целое число. Во втором случае, решение представляет собой уравнение, полученное после деления обеих частей уравнения на sin(6x+4y-5).