Question

Решите неравенство с модулем x^2+1/x^2-4|x+1/x|-3 меньше или равно 0

Answer 1

Из под модуля всегда выходит положительное число 
2+5х+х+1 больше или равно х+3 
2+5х+х+1-х-3 больше или =0
5х+0 больше или =0 
х больше или равен 0 
ответ [0;+ бесконечности

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство, разберемся с каждым модулем по отдельности.

1. Модуль разности \(|x+\frac{1}{x}|\) может быть положительным или нулем. Поэтому рассмотрим два случая:

a) Пусть модуль нулевой: \(|x+\frac{1}{x}| = 0\). Это возможно только при условии, что \(x + \frac{1}{x} = 0\). Решив это уравнение, получим \(x = \pm i\), но вещественные значения \(x\) не подходят, так как мы рассматриваем только действительные числа. Поэтому этот случай не приводит к решению исходного неравенства.

b) Пусть модуль положителен: \(|x+\frac{1}{x}| > 0\). Тогда неравенство \(x^2 - 4|x+\frac{1}{x}| - 3 \leq 0\) будет эквивалентно неравенству \(|x+\frac{1}{x}| > 3\), так как \(x^2 - 4|x+\frac{1}{x}| - 3 \) - отрицательное число.

2. Теперь рассмотрим неравенство \(|x^2+1| \leq 4\). Заметим, что левая часть должна быть неотрицательной, поэтому решим два случая:

a) Пусть \(x^2+1\) неотрицательно: \(x^2+1 \geq 0\). Это неравенство выполняется для всех \(x \in \mathbb{R}\).

b) Пусть \(x^2+1\) отрицательно: \(x^2+1 < 0\). Это неравенство не имеет решений в действительных числах, так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным.

Таким образом, второе неравенство \(|x^2+1| \leq 4\) разрешено для всех \(x \in \mathbb{R}\).

В итоге, совместив результаты двух случаев, получаем решение исходного неравенства: \(x \in \mathbb{R}\).