Question

Через какую формулу мы получим это:(1+x)(1+x2)(1+x4)...(1+x2048)

Answer 1

Возможно я не так понимаю задание, записать как бы в одним выражением с использьвание знака произведение? если да, то
$P _{0 \leq i  \leq  11}  (1+x^{2^{i}})$

P - это тут произведение обозначил
То есть произведение, где i бегает от 0 до 11

Answer 2

Для нахождения формулы, которая выражает произведение (1+x)(1+x^2)(1+x^4)...(1+x^2048), мы можем использовать концепцию геометрической прогрессии.

Первым шагом давайте рассмотрим, как будет выглядеть это произведение для нескольких первых степеней x:

(1+x)(1+x^2) = 1 + x + x^2 + x^3 (1+x)(1+x^2)(1+x^4) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 (1+x)(1+x^2)(1+x^4)(1+x^8) = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^7 + x^8 + x^9 + x^10 + x^11 + x^12 + x^13 + x^14 + x^15

Можно заметить, что каждый элемент в произведении является суммой всех возможных комбинаций степеней x, которые могут быть получены путем выбора одного члена из каждого скобочного выражения.

Теперь давайте рассмотрим, как получить формулу для произведения (1+x)(1+x^2)(1+x^4)...(1+x^2048). Мы заметим, что каждый член вида x^k, где k - степень двойки (т.е. k = 2^m), будет присутствовать в произведении только тогда, когда в соответствующей скобке будет выбран член x^k. Поэтому, чтобы найти коэффициент при x^k в итоговой формуле, мы должны просуммировать все возможные комбинации выбора членов x^k из каждого скобочного выражения.

Таким образом, формула для произведения (1+x)(1+x^2)(1+x^4)...(1+x^2048) будет иметь следующий вид:

1 + (x^1 + x^2 + x^3) + (x^1 + x^2 + x^3)(x^4 + x^5 + x^6 + x^7) + (x^1 + x^2 + x^3)(x^4 + x^5 + x^6 + x^7)(x^8 + x^9 + x^10 + x^11 + x^12 + x^13 + x^14 + x^15) + ...

Эта формула будет иметь множество слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение всех возможных комбинаций выбора членов x^k из каждого скобочного выражения.

Например, первое слагаемое x^1 + x^2 + x^3 представляет собой сумму всех возможных комбинаций выбора одного члена из каждого скобочного выражения (1+x), (1+x^2) и (1+x^4). Второе слагаемое представляет собой сумму всех возможных комбинаций выбора одного члена из каждого скобочного выражения (1+x), (1+x^2), (1+x^4) и (1+x^8), и так далее.

Таким образом, данная формула представляет произведение (1+x)(1+x^2)(1+x^4)...(1+x^2048) в явном виде.