Question

Решить неопределенный интеграл(интегрирование по частям):

Answer 1

$\int x \ln(x^2+1)dx = \frac{1}{2}\int(\ln(x^2+1))d(x^2+1) = \frac{1}{2}\int(\ln t)dt$

Интегрирование логарифма производится по частям

представим, что

$u = \ln t; v = t\\ du = u'dt = \frac{dt}{t}\\ dv = v'dt = dt\\ \int \ln t dt = \int u dv = uv - \int vdu = t \ln t - \int t\frac{dt}{t} = \\ = t \ln t - \int dt = t \ln t - t +C$

далее вернемся к нашему интегралу:

$\frac{1}{2}\int \ln t dt =\frac{t \ln t - t}{2} + C = \frac{x^2+1}{2}\ln (x^2+1) - \frac{x^2+1}{2} + C = \\ =\frac{x^2+1}{2}\ln(\frac{x^2+1}{e}) + C$

Answer 2

Для решения неопределенного интеграла с помощью интегрирования по частям, мы используем формулу:

∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx

где u(x) и v(x) - это функции, а u'(x) и v'(x) - их производные.

Шаги для решения неопределенного интеграла с помощью интегрирования по частям:

1. Выберите функции u(x) и v'(x). 2. Вычислите производные u'(x) и v(x). 3. Подставьте значения в формулу интегрирования по частям. 4. Упростите полученное выражение и упростите интеграл, если это возможно.

Пример:

Давайте рассмотрим пример и решим неопределенный интеграл ∫x*cos(x)dx с помощью интегрирования по частям.

1. Выберем функции: u(x) = x (выбираем функцию, которая будет дифференцироваться при взятии производной) v'(x) = cos(x) (выбираем функцию, которая будет интегрироваться при взятии производной)

2. Вычислим производные: u'(x) = 1 (производная от x) v(x) = sin(x) (интеграл от cos(x))

3. Подставим значения в формулу интегрирования по частям: ∫x*cos(x)dx = x*sin(x) - ∫sin(x)*1dx

4. Упростим полученное выражение: ∫x*cos(x)dx = x*sin(x) - ∫sin(x)dx = x*sin(x) + cos(x) + C

Таким образом, решение неопределенного интеграла ∫x*cos(x)dx с помощью интегрирования по частям равно x*sin(x) + cos(x) + C, где C - произвольная постоянная.