Question

В правильной четырех угольной пирамиде высота равна 8 см ; двугранный угол при основании пирамиды равен 30 градусов . Найдите объем пирамиды

Answer 1

Оскільки піраміда правильна чотирикутна то висота буде падать в центр перетину діагоналей квадрата,що лежит в основі піраміди.Двохграний кут- це кут між прямими, що лежать в двох площинах,що перетинаються  перпендикулярні до лінії перетину.Кут = 30 градусів.Утворюється прямокутний трикутник  з катетом 8 см.,що лежить проти кута 30, отже гіпотенуза дорівнює 2*8= 16. За теоремою Піфагора другий катет =24. Цей катет є половиною сторони квадрата( як радіус вписаний в квадрат).Тобто,сторона квадрата = 48.Площа=1/3*8* 48*48=6144 см²

Answer 2

Для нахождения объема правильной четырехугольной пирамиды нужно знать значение высоты и площадь основания.

Дано: Высота пирамиды (h) = 8 см Двугранный угол при основании пирамиды (α) = 30 градусов

Поскольку дан двугранный угол при основании пирамиды, нам необходимо разделить пирамиду на два тетраэдра и рассмотреть один из них.

Тетраэдр - это пирамида с основанием, состоящим из равностороннего треугольника (равносторонний треугольник является правильной фигурой, у которой все стороны и углы равны между собой).

Высота тетраэдра (h') будет являться высотой пирамиды, а сторона треугольника, образующего основание (a), будет равна a = 2 * h * tg(α/2), где tg - тангенс угла.

Сначала найдем основание тетраэдра: a = 2 * 8 * tg(30/2) ≈ 2 * 8 * 0.289 ≈ 4.624 см.

Площадь основания тетраэдра (S') равна: S' = (a^2 * √3) / 4, где ^2 - это возведение в квадрат, а √3 - квадратный корень из 3.

S' = (4.624^2 * √3) / 4 ≈ (21.359 * 1.732) / 4 ≈ 36.915 / 4 ≈ 9.229 см^2.

Теперь можем найти объем тетраэдра: V' = (S' * h') / 3.

V' = (9.229 * 8) / 3 ≈ 73.832 / 3 ≈ 24.611 см^3.

Так как исходная пирамида состоит из двух тетраэдров, общий объем будет равен удвоенному значению объема одного тетраэдра: V = 2 * V' ≈ 2 * 24.611 ≈ 49.222 см^3.

Таким образом, объем правильной четырехугольной пирамиды составляет около 49.222 см^3.