Question

Угол B- прямой, AB=30мм, BC=20мм. Достройте треугольник ABC до прямоугольника. Найдите площадь этого прямоугольника. Чему равна площадь треугольника ABC?

Answer 1

От точки А откладываешь отрезок длиной 20 мм так, что бы он был параллелен отрезку ВС. От точки С откладываешь отрезок длиной 30 мм так, что бы он был параллелен отрезку АВ. Должен получиться прямоугольник.
Площадь прямоугольника равна
S = a×b = 20 мм × 30 мм = 600 мм² или 60 см²
Теперь надо поделить эту площадь пополам и получаешь площадь треугольника АВС
600 мм² ÷ 2 = 300 мм²
Ответ: 300 мм²

Answer 2

Давайте рассмотрим треугольник ABC с углом B. У нас есть две стороны этого треугольника: AB = 30 мм и BC = 20 мм.

1. Достроим треугольник ABC до прямоугольника:

Для этого мы можем провести высоту треугольника из вершины B до стороны AC. Обозначим точку пересечения высоты с AC как D.

Теперь у нас есть два прямоугольных треугольника: ABD и BCD.

2. Найдем длину высоты AD:

Мы можем использовать теорему Пифагора в треугольнике ABD:

\[ AD^2 + BD^2 = AB^2 \]

\[ AD^2 + (BC)^2 = (AB)^2 \]

\[ AD^2 + 20^2 = 30^2 \]

\[ AD^2 + 400 = 900 \]

\[ AD^2 = 500 \]

\[ AD = \sqrt{500} \]

\[ AD = 10\sqrt{5} \]

3. Теперь у нас есть треугольник ABD с известными сторонами AD, BD и AB. Мы можем найти угол ABD, используя тангенс угла:

\[ \tan(\angle ABD) = \frac{AD}{BD} \]

\[ \tan(\angle ABD) = \frac{10\sqrt{5}}{20} \]

\[ \angle ABD = \arctan\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\right) \]

\[ \angle ABD \approx 26.57^\circ \]

4. Теперь мы можем построить прямоугольник ABCD, где угол BCD прямой, а угол ABD равен 26.57 градусов.

5. Найдем площадь прямоугольника ABCD:

Площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

\[ \text{Площадь} = AD \times BC \]

\[ \text{Площадь} = 10\sqrt{5} \times 20 \]

\[ \text{Площадь} = 200\sqrt{5} \, \text{кв. мм} \]

6. Найдем площадь треугольника ABC:

Площадь треугольника можно найти, используя формулу Герона. Полупериметр треугольника \(s\) равен сумме всех его сторон, деленной на 2:

\[ s = \frac{AB + BC + AC}{2} \]

\[ s = \frac{30 + 20 + 2 \cdot AD}{2} \]

\[ s = \frac{70 + 2 \cdot 10\sqrt{5}}{2} \]

Теперь используем формулу Герона:

\[ \text{Площадь} = \sqrt{s \cdot (s - AB) \cdot (s - BC) \cdot (s - AC)} \]

\[ \text{Площадь} = \sqrt{s \cdot (s - 30) \cdot (s - 20) \cdot (s - 2 \cdot AD)} \]

Подставим значения и вычислим:

\[ \text{Площадь} = \sqrt{\frac{70 + 2 \cdot 10\sqrt{5}}{2} \cdot \left(\frac{70 + 2 \cdot 10\sqrt{5}}{2} - 30\right) \cdot \left(\frac{70 + 2 \cdot 10\sqrt{5}}{2} - 20\right) \cdot \left(\frac{70 + 2 \cdot 10\sqrt{5}}{2} - 2 \cdot AD\right)} \]

\[ \text{Площадь} \approx 408.25 \, \text{кв. мм} \]

Таким образом, площадь прямоугольника ABCD составляет \(200\sqrt{5} \, \text{кв. мм}\), а площадь треугольника ABC - примерно \(408.25 \, \text{кв. мм}\).