Question

при каких значениях m и n, связанных соотношением m+n=1 выражение 4mквадрат+ 2mn-nквадрат принимает наименьшее значение? Помогите пожалуйста !!

Answer 1

m+n=1, n=1-m

3m^2+2mn-2n^2=3m^2+2m(1-m)-2(1-m)^2=3m^2+2m-2m^2-2+4m-2m^2=-m^2+6m-2=-(m^2-6m)-2=-(m^2-6m+9)+9-2=-(m-3)^2+7

Выражение принимает наибольшее значение при m=3 и n=-2

Answer 2

Дано выражение: 4m^2 + 2mn - n^2.

Чтобы найти наименьшее значение этого выражения, можно воспользоваться тактикой завершения квадратов.

Рассмотрим первое слагаемое 4m^2. Мы можем выразить его как квадрат суммы двух слагаемых: (2m)^2.

Аналогично, рассмотрим третье слагаемое -n^2. Мы можем выразить его как квадрат разности двух слагаемых: (-n)^2.

Теперь перепишем исходное выражение с учетом этих преобразований: (2m)^2 + 2mn - (-n)^2.

Заметим, что здесь у нас получается сумма трех слагаемых.

Теперь давайте рассмотрим второе слагаемое - 2mn. Мы хотим, чтобы это слагаемое было как можно больше, для того чтобы весь наш суммарный результат был как можно меньше.

Зная условие задачи m + n = 1, мы можем выразить n через m следующим образом: n = 1 - m.

Тогда подставляем это во второе слагаемое: -2m(1 - m) = -2m + 2m^2.

Итак, наше исходное выражение становится: (2m)^2 + (-2m + 2m^2) - (-1 + m)^2.

Упростим его: 4m^2 - 2m + 2m^2 + 1 - 2m + m^2.

Теперь сложим все слагаемые с m и получим конечное выражение: 7m^2 - 6m + 1.

Итак, мы свели исходное выражение к квадратичному трехчлену 7m^2 - 6m + 1.

Для того чтобы найти, при каких значениях m и n, связанных соотношением m + n = 1, это выражение принимает наименьшее значение, мы можем воспользоваться дискриминантом квадратного уравнения.

Дискриминант D = b^2 - 4ac.

Здесь a = 7, b = -6, c = 1.

Подставляем эти значения в формулу дискриминанта: D = (-6)^2 - 4 * 7 * 1 = 36 - 28 = 8.

Дискриминант положительный, значит у нас есть два действительных корня для нашего уравнения 7m^2 - 6m + 1 = 0.

Чтобы найти эти корни, можем воспользоваться формулой Квадратного корня: m = (-b ± √D) / 2a.

Вычисляем корни: m₁ = (-(-6) + √8) / 2 * 7 ≈ 0.414, m₂ = (-(-6) - √8) / 2 * 7 ≈ 0.857.

Теперь мы найдем значения n, подставив каждое значение m в уравнение m + n = 1.

Значит, n₁ = 1 - m₁ = 1 - 0.414 ≈ 0.586, n₂ = 1 - m₂ = 1 - 0.857 ≈ 0.143.

Таким образом, при значениях m ≈ 0.414 и n ≈ 0.586, а также m ≈ 0.857 и n ≈ 0.143 выражение 4m^2 + 2mn - n^2 принимает наименьшее значение.