Question

Вершины треугольника имеют координаты А(5, 2, -4), В(9,-8,-3), С(16,-6,-11). Найти угол, образованный сторонами (АВ) и (ВС).

Answer 1

Даны вершины А(5, 2, -4), В(9,-8,-3), С(16,-6,-11).
Находим координаты векторов АВ и ВС:
АВ: (9-5=4; -8-2=-10; -3-(-4)=1) = (4; -10; 1).
Модуль (длина) равен: √(16+100+1) = √117. 
ВС: (16-9=7; -6-(-8)=2; -11-(-3)=-8) = (7; 2; -8).
Модуль (длина) равен: √(49+4+64) = √117. 
$cos \alpha = \frac{4*7+(-10)*2+1*(-8)}{ \sqrt{117}* \sqrt{117} } =0.$
Значит, угол равен 90 градусов.

Answer 2

Чтобы найти угол между сторонами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{BC} \) треугольника, можно воспользоваться скалярным произведением векторов и формулой для косинуса угла между векторами.

Для начала найдем векторы \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{BC} \):

\[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A} \]

\[ \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{C} - \overrightarrow{B} \]

Далее, найдем скалярное произведение векторов \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{BC} \):

\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}| \cdot \cos(\theta) \]

где \( \theta \) - угол между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{BC} \).

Сначала найдем векторы:

\[ \overrightarrow{AB} = \begin{bmatrix} 9 - 5 \\ -8 - 2 \\ -3 - (-4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ -10 \\ 1 \end{bmatrix} \]

\[ \overrightarrow{BC} = \begin{bmatrix} 16 - 9 \\ -6 - (-8) \\ -11 - (-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 2 \\ -8 \end{bmatrix} \]

Теперь найдем скалярное произведение:

\[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = (4 \cdot 7) + ((-10) \cdot 2) + (1 \cdot (-8)) = 28 - 20 - 8 = 0 \]

Теперь мы можем использовать формулу для косинуса угла:

\[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{AB}| \cdot |\overrightarrow{BC}|} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{0}{\sqrt{4^2 + (-10)^2 + 1^2} \cdot \sqrt{7^2 + 2^2 + (-8)^2}} \]

\[ \cos(\theta) = 0 \]

Так как косинус угла равен 0, угол между векторами \( \overrightarrow{AB} \) и \( \overrightarrow{BC} \) равен 90 градусов.