Question

Найти длину векторного произведения векторов 2a+4b и -a+3b,если IaI=2 , IbI=Корень из трех, (a?b)=Число Пи/ 6

Answer 1

В твоей задачи запуталась с числами, но решение такое...обчисли только

Answer 2

Давайте рассмотрим векторное произведение двух векторов \( \mathbf{u} \) и \( \mathbf{v} \), представленных в виде \( \mathbf{u} = (u_1, u_2, u_3) \) и \( \mathbf{v} = (v_1, v_2, v_3) \). Тогда векторное произведение \( \mathbf{u} \times \mathbf{v} \) определяется следующим образом:

\[ \mathbf{u} \times \mathbf{v} = \left( u_2v_3 - u_3v_2, u_3v_1 - u_1v_3, u_1v_2 - u_2v_1 \right) \]

В данном случае у нас есть два вектора:

\[ \mathbf{a} = (2a, 4b, 0) \] \[ \mathbf{b} = (-a, 3b, 0) \]

Теперь можем подставить значения и вычислить векторное произведение:

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left( (4b)(0) - (0)(3b), (0)(-a) - (2a)(0), (2a)(3b) - (4b)(-a) \right) \]

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \left( 0, 0, 6ab + 4ab \right) \]

\[ \mathbf{a} \times \mathbf{b} = (0, 0, 10ab) \]

Теперь у нас есть векторное произведение векторов \( \mathbf{a} \) и \( \mathbf{b} \). Длину вектора можно вычислить используя формулу:

\[ |\mathbf{c}| = \sqrt{c_1^2 + c_2^2 + c_3^2} \]

В данном случае:

\[ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (10ab)^2} \]

\[ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{100a^2b^2} \]

Теперь у нас есть выражение для длины векторного произведения. Учитывая условия \( | \mathbf{a}| = 2 \) и \( | \mathbf{b}| = \sqrt{3} \), мы можем подставить эти значения:

\[ 2 = | \mathbf{a} | = \sqrt{2^2 + 4^2 + 0^2} = \sqrt{20} \]

\[ \sqrt{3} = | \mathbf{b} | = \sqrt{(-1)^2 + 3^2 + 0^2} = \sqrt{10} \]

Теперь мы можем решить уравнение для \( |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| \):

\[ |\mathbf{a} \times \mathbf{b}| = \sqrt{100a^2b^2} \]

\[ \sqrt{20} \cdot \sqrt{10} = \sqrt{100a^2b^2} \]

\[ \sqrt{200} = \sqrt{100a^2b^2} \]

Теперь можно сократить корень:

\[ \sqrt{2} = 10ab \]

Теперь, учитывая, что \( (a \times b) = \frac{\pi}{6} \), мы можем выразить \( ab \) через этот угол:

\[ \sqrt{2} = 10 \cdot \frac{\pi}{6} \]

Теперь решим это уравнение относительно \( ab \):

\[ \sqrt{2} = \frac{5\pi}{3} \]

\[ ab = \frac{\sqrt{2}}{5\pi/3} \]

\[ ab = \frac{3\sqrt{2}}{5\pi} \]

Таким образом, длина векторного произведения векторов \(2\mathbf{a} + 4\mathbf{b}\) и \(-\mathbf{a} + 3\mathbf{b}\) равна \(\frac{3\sqrt{2}}{5\pi}\).