Question

Найти наибольшее значение функции у=(х-27)*е^{28-х} на отрезке [23;40]

Answer 1

Y'=1*e^(28-x)+(x-27)*e^(28-x)*(-1)=e^(28-x)*(1-28+x)=(x-27)*e^(28-x)
y'=0
(x-27)(e^(28-x)=0
1)x-27=0     e^(28-x)=0- нет решения
  x=27
y(27)=(27-27)*e^(28-27)=0
y(23)=(23-27)*e^(28-23)<0
y(40)=(40-27)*e^(28-40)=13/(e^12)>0
Ответ: 13/(e^12)

Answer 2

Для нахождения наибольшего значения функции у=(х-27)*е^{28-х} на заданном отрезке [23;40], мы можем использовать метод дифференцирования функции и анализировать её производную.

Нахождение производной:

Для начала найдем производную функции у=(х-27)*е^{28-х}. Применим правило дифференцирования для произведения функций и правило дифференцирования для экспоненты:

у' = (x-27)' * e^(28-x) + (x-27) * (e^(28-x))'

где у' - производная функции у, (x-27)' - производная (х-27), (e^(28-x))' - производная (e^(28-x)).

(x-27)' = 1, так как производная линейной функции (х-27) равна 1.

(e^(28-x))' = -e^(28-x), так как производная экспоненты e^x равна самой экспоненте, но с противоположным знаком.

Подставляем значения:

у' = 1 * e^(28-x) + (x-27) * (-e^(28-x)) = e^(28-x) - (x-27) * e^(28-x) = e^(28-x) - e^(28-x) * (x-27) = e^(28-x) * (1 - (x-27)) = e^(28-x) * (28 - x - 27) = e^(28-x) * (1 - x)

Нахождение точек экстремума:

Чтобы найти точки экстремума, мы должны найти значения х, при которых производная у' равна нулю или не существует. В данном случае, производная у' существует на всем отрезке [23;40]. Поэтому мы должны приравнять у' к нулю и решить уравнение:

e^(28-x) * (1 - x) = 0

Это уравнение выполняется, когда один из множителей равен нулю. Поэтому у нас есть два возможных значения х:

1. e^(28-x) = 0. Это уравнение не имеет решений, так как экспонента никогда не равна нулю.

2. 1 - x = 0. Решая это уравнение, мы получаем x = 1.

Определение типа экстремума:

Чтобы определить тип экстремума, мы должны проанализировать знак производной у' в окрестности найденной точки экстремума.

1. В окрестности x = 1, значение производной у' будет положительным, так как e^(28-x) всегда положительно, а (1 - x) будет отрицательным в окрестности x = 1. Это означает, что у функции есть локальный максимум в точке x = 1.

Нахождение значения функции в точке экстремума:

Теперь мы можем найти значение функции у в точке x = 1. Подставим это значение в исходную функцию:

у = (1-27)*е^{28-1} = (-26)*е^27

Таким образом, наибольшее значение функции у=(х-27)*е^{28-х} на отрезке [23;40] равно -26*е^27.