Question

После стргительства дома осталось некоторое количество плиток. Их можно использовать для выкладывания поямоугольной площадки на участие рядом с домом. Если укладывать в ряд по 10 плиток, то для квадратной площадки плиток не хватает. При укладывании по 7 в ряд остаётся один неполный ряд, а при укладывании по 8- тоже остаётся неполный ряд, в котором на 5 плиток меньше чем в неполном ряду при укладывании по 7. Сколько всего плиток осталось после строительства дома? Запишите решение и ответ.

Answer 1

Решение в приложении.
Два допустимых ответа:
1) 41  плитка
2) 97 плиток.

Answer 2

Давайте обозначим общее количество плиток за \(х\). Теперь давайте посмотрим на условия:

1. Если укладывать плитки по 10 в ряд, то для квадратной площадки плиток не хватает. Это означает, что \(x\) не делится нацело на 10. 2. При укладывании по 7 в ряд остается один неполный ряд. 3. При укладывании по 8 в ряд также остается неполный ряд, в котором на 5 плиток меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 7.

Итак, мы имеем систему уравнений:

\[ \begin{align*} 1. &\ x \equiv 0 \pmod{10} \quad \text{(плиток не хватает для квадратной площадки)} \\ 2. &\ x \equiv 1 \pmod{7} \quad \text{(остается один неполный ряд)} \\ 3. &\ x - 5 \equiv 0 \pmod{8} \quad \text{(в неполном ряду при укладывании по 8 на 5 плиток меньше)} \end{align*} \]

Решение этой системы уравнений может быть найдено с помощью Китайской теоремы об остатках или других методов. Однако, для нашей задачи, можно заметить, что числом, которое соответствует условиям 1 и 2, будет \(x = 70k + 1\), где \(k\) - целое число. Затем, проверив это значение в условии 3, мы можем найти минимальное положительное значение \(k\), которое удовлетворяет всем условиям.

\[ \begin{align*} &\text{Условие 3:} \quad 70k + 1 - 5 \equiv 0 \pmod{8} \\ &\Rightarrow 70k \equiv 4 \pmod{8} \\ &\Rightarrow 6k \equiv 4 \pmod{8} \\ &\Rightarrow k \equiv 7 \pmod{8} \end{align*} \]

Таким образом, \(k = 8m + 7\), где \(m\) - целое число. Теперь подставим это значение обратно в \(x\):

\[ x = 70(8m + 7) + 1 = 560m + 491 \]

Таким образом, общее количество плиток \(x\) может быть выражено как \(560m + 491\), где \(m\) - целое число. Минимальное положительное значение \(m\) для удовлетворения условиям - это \(m = 1\).

Таким образом, общее количество плиток \(x = 560 \cdot 1 + 491 = 1051\).

Ответ: Всего осталось 1051 плитка.