Question

Помогите! неопределенный и определенный интеграл.

Answer 1

По частям.

$\displaystyle \int (3x-1)e^x\,dx=\int(3x-1)\,d(e^x)=(3x-1)e^x-\int e^x\,d(3x-1)=\\=(3x-1)e^x-3\int e^x\,dx==(3x-1)e^x-3e^x + C= (3x-4)e^x+C$

Answer 2

$\int {3x-1} \, de^x = (3x-1)e^x - 3 \int {e^x} \, dx = (3x-1)e^x - 3e^x +C= (3x-4)e^x+C$

Answer 3

Конечно, я готов помочь! Давайте начнем с определений неопределенного и определенного интеграла.

1. Неопределенный интеграл:

Неопределенный интеграл - это обратная операция к дифференцированию. Если у вас есть функция \(f(x)\), то ее неопределенным интегралом обозначается как \(\int f(x) \,dx\), и он представляет собой семейство функций, которые могут быть получены из \(f(x)\) добавлением произвольной константы \(C\).

Формула неопределенного интеграла: \[ \int f(x) \,dx = F(x) + C, \] где \(F(x)\) - это любая функция, производная которой равна \(f(x)\), а \(C\) - произвольная постоянная.

2. Определенный интеграл:

Определенный интеграл используется для вычисления площади под кривой на заданном интервале. Если у вас есть функция \(f(x)\) на отрезке \([a, b]\), то определенный интеграл от \(a\) до \(b\) обозначается как \(\int_{a}^{b} f(x) \,dx\). Это представляет собой числовое значение, которое представляет собой площадь между графиком функции и осью \(x\) на заданном интервале.

Формула определенного интеграла: \[ \int_{a}^{b} f(x) \,dx = F(b) - F(a), \] где \(F(x)\) - любая функция, производная которой равна \(f(x)\).

Пример:

Рассмотрим функцию \(f(x) = 2x\) и найдем ее неопределенный интеграл и определенный интеграл на интервале от 1 до 3.

1. Неопределенный интеграл: \[ \int 2x \,dx = x^2 + C, \] где \(C\) - произвольная константа.

2. Определенный интеграл: \[ \int_{1}^{3} 2x \,dx = (3)^2 - (1)^2 = 9 - 1 = 8. \]

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть дополнительные вопросы или нужна дополнительная информация, не стесняйтесь спрашивать.