Question

Из произведения трёх последовательных натуральных чисел вычли их сумму и получили нечётное число N. Докажите, что число N является произведением каких-то трёх последовательных нечётных чисел. ОЛИМПИАДА 9 КЛАСС

Answer 1

K-1, k, k+1 - три последовательных натуральных числа. (k≥3, k∈N)
N=(k-1)k(k+1)-((k-1)+k+(k+1))=(k-1)(k+1)k-(k-1+k+k+1)=(k²-1)k-3k=k³-k-3k=k³-4k=k(k²-4)=(k-2)k(k+2).
Т.к. N - нечетное, то k-2, k и k+2 - тоже нечетные, и они последовательные.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения рассмотрим произведение трех последовательных нечетных чисел: (2k+1)(2k+3)(2k+5), где k - некоторое натуральное число. Докажем, что оно может быть представлено в виде n = (2m+1), где m - некоторое натуральное число.

Раскроем скобки в выражении (2k+1)(2k+3)(2k+5):

(2k+1)(2k+3)(2k+5) = (4k^2 + 6k + 2k + 3)(2k+5) = (4k^2 + 8k + 3)(2k+5)

Заметим, что два первых слагаемых 4k^2 + 8k и 3 являются четными числами, так как представлены в виде произведения 2*(2k^2 + 4k) и 1 соответственно.

Поэтому можно переписать выражение в виде:

(4k^2 + 8k + 3)(2k+5) = 2 * ((2k^2 + 4k) * (2k + 5)) + (2k+5) = 2p + (2k+5),

где p = (2k^2 + 4k) * (2k + 5)

Заметим, что остаток от деления (2k+5) на 2 всегда будет равен 1, так как это нечетное число. Таким образом, можно переписать выражение в виде n = 2p + 1, что является нечетным числом.

Таким образом, мы получили, что произведение трех последовательных нечетных чисел может быть представлено в виде нечетного числа n = 2p + 1, где p - некоторое натуральное число. Отсюда следует, что число n является произведением трех последовательных нечетных чисел.

Answer 3

Пусть тройка последовательных натуральных чисел, из которых вычитали их сумму, состоит из чисел a, a+1 и a+2.

Сумма этих чисел равна a + (a+1) + (a+2) = 3a + 3.

Вычитаем сумму из произведения трех чисел: a(a+1)(a+2) - (3a+3) = a^3 + 3a^2 + 2a - 3a - 3 = a^3 + 3a^2 - a - 3.

Полученное выражение является нечетным числом N.

Докажем, что число N является произведением трех последовательных нечетных чисел.

Чтобы получить нечетное число, произведение трех чисел должно содержать хотя бы одно нечетное число.

Пусть a - нечетное число. Тогда два последующих числа a+1 и a+2 будут четными, так как прибавление 1 или 2 к нечетному числу дают четные числа.

Таким образом, произведение трех чисел a(a+1)(a+2) будет содержать нечетное число a и два четных числа (a+1) и (a+2).

Так как произведение нечетного числа на четное число всегда будет четным, то произведение трех чисел будет четным.

Это противоречие с тем, что число N является нечетным.

Следовательно, предположение о том, что a является нечетным числом, неверно.

Пусть a - четное число. Тогда два последующих числа a+1 и a+2 также будут четными числами.

Таким образом, произведение трех чисел a(a+1)(a+2) будет содержать три четных числа.

Произведение трех четных чисел всегда будет четным числом.

Это противоречие с тем, что число N является нечетным.

Следовательно, предположение о том, что a является четным числом, неверно.

Таким образом, не существует тройки последовательных натуральных чисел, из которых вычитали их сумму и получили бы нечетное число N.