Question

Xyy'=(1-x^2)^2 Найти общее решение уравнений с разделяющимися переменными !

Answer 1

$xyy'=(1-x^2)^2\\\\xy\cdot \frac{dy}{dx}=(1-x^2)^2\\\\y\cdot dy=\frac{(1-x^2)^2\cdot dx}{x}\\\\\int y\cdot dy=\int \frac{1-2x^2+x^4}{x} dx\\\\\int y\cdot dy=\int (\frac{1}{x}-2x+x^3)dx\\\\\frac{y^2}{2}=ln|x|-x^2+\frac{x^4}{4}+C\\\\y^2=lnx^2-2x^2+\frac{x^4}{2}+2C$

Answer 2

Уравнение \( xyy' = (1 - x^2)^2 \) является уравнением с разделяющимися переменными, поскольку переменные \( x \) и \( y \) можно разделить, переместив все члены, содержащие \( y \), на одну сторону уравнения, а все члены, содержащие \( x \), - на другую.

Давайте решим это уравнение. Перепишем его в виде:

\[ y' = \frac{(1 - x^2)^2}{x} \]

Теперь разделим переменные, переместив все члены, содержащие \( y \), на одну сторону, а все члены, содержащие \( x \), - на другую:

\[ \frac{1}{y} \, dy = \frac{(1 - x^2)^2}{x} \, dx \]

Теперь проинтегрируем обе стороны уравнения. Интеграл левой стороны даст \(\ln|y|\), а интеграл правой стороны может потребовать некоторых алгебраических преобразований. Давайте разложим \( (1 - x^2)^2 \) в числителье:

\[ (1 - x^2)^2 = 1 - 2x^2 + x^4 \]

Теперь уравнение примет вид:

\[ \ln|y| = \int \frac{1 - 2x^2 + x^4}{x} \, dx \]

Разложим интеграл на части:

\[ \ln|y| = \int \left( \frac{1}{x} - 2x + x^3 \right) \, dx \]

Теперь проинтегрируем каждое слагаемое:

\[ \ln|y| = \ln|x| - x^2 + \frac{x^4}{4} + C \]

где \( C \) - константа интегрирования. Теперь возьмем экспоненту от обеих сторон уравнения, чтобы избавиться от логарифма:

\[ |y| = e^{\ln|x| - x^2 + \frac{x^4}{4} + C} \]

\[ |y| = e^{\ln|x|} \cdot e^{-x^2 + \frac{x^4}{4} + C} \]

Теперь объединим экспоненты:

\[ |y| = |x| \cdot e^{-x^2 + \frac{x^4}{4} + C} \]

Таким образом, общее решение данного уравнения с разделяющимися переменными имеет вид:

\[ y = \pm x \cdot e^{-x^2 + \frac{x^4}{4} + C} \]

где \( C \) - константа интегрирования.