Question

Решите уравнения (1+sin 2x)(cosx-sinx)=cosx+sinx

Answer 1

$(1+\sin2x)(\cos x-\sin x)=\cos x+\sin x\\ \\ (\cos x+\sin x)^2(\cos x-\sin x)=\cos x+\sin x\\ \\ (\cos x+\sin x)(\cos^2x-\sin^2x-1)=0\\ (\cos x+\sin x)(\cos 2x-1)=0\\ \\ \cos x+\sin x=0|:\cos x\\ 1+tgx=0\\\boxed{ x=- \frac{\pi}{4} + \pi n,n \in Z}\\ \\ \\ \cos 2x-1=0\\ \cos2x=1\\ 2x=2\pi n,n \in Z\\ \\ \boxed{x=\pi n,n \in Z}$

Answer 2

Для решения данного уравнения, сначала умножим скобку (1 + sin2x) на (cosx - sinx):

(1 + sin2x)(cosx - sinx) = cosx + sinx

Раскроем скобки:

cosx + sin2xcosx - sinx - sin2xsinx = cosx + sinx

Упростим уравнение:

cosx + sin2xcosx - sinx - sin2xsinx - cosx - sinx = 0

Группируем подобные слагаемые:

cosx - cosx + sin2xcosx - sin2xsinx - sinx - sinx = 0

Убираем нулевые термы:

sin2xcosx - sin2xsinx - sinx - sinx = 0

sinx(cosx - sinx) - sinx - sinx = 0

(sinxcosx - sin2x) - 2sinx = 0

(sinxcosx - sin2x) = 2sinx

sinx(cosx - sinx) = 2sinx

Теперь разделим уравнение на sinx:

cosx - sinx = 2

Теперь добавим sinx к каждой стороне:

cosx = 2 + sinx

Известно, что cos2x = 1 - sin2x, поэтому подставим это вместо cosx:

1 - sin2x = 2 + sinx

Перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

sin2x + sinx - 1 = 0

Теперь мы получили квадратное уравнение относительно sinx. Решим его, используя методы решения квадратных уравнений.

Для удобства, обозначим sinx как t:

t2 + t - 1 = 0

Раскроем скобки:

t2 + t - 1 = 0

Поиск корней этого уравнения может быть сложной задачей. Для начала, посчитаем дискриминант:

D = b2 - 4ac = (1)2 - 4(1)(-1) = 1 + 4 = 5

Так как дискриминант больше нуля, у уравнения есть два различных вещественных корня.

Используя формулу для решения квадратного уравнения, найдем корни:

t1 = (-1 + √5) / 2

t2 = (-1 - √5) / 2

Теперь, найдем значения sinx, используя обратную тригонометрическую функцию:

sinx = t1 = (-1 + √5) / 2

sinx = t2 = (-1 - √5) / 2

Таким образом, мы нашли два возможных значения для sinx.