Question

Найдите точку максимума y = -2/3 x корень(x) +3x +1

Answer 1

находим производную y`=-корень(х)+3

приравниваем к нулю        - корень(х)=-3

                                                  корень(х)=3

                                                  х=9

Answer 2

Конечно, чтобы найти точку максимума функции \(y = -\frac{2}{3}x \sqrt{x} + 3x + 1\), нужно выполнить несколько шагов. Для начала найдем производную этой функции, чтобы определить ее экстремумы.

Первым шагом найдем производную \(y'\) функции \(y\):

\[y = -\frac{2}{3}x \sqrt{x} + 3x + 1\]

\[y' = \frac{d}{dx}(-\frac{2}{3}x \sqrt{x} + 3x + 1)\]

Чтобы найти производную, нужно использовать правила дифференцирования. Производная каждого члена функции будет:

\[\frac{d}{dx}(-\frac{2}{3}x \sqrt{x}) = -\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}\sqrt{x} + \frac{d}{dx}(3x) = -\sqrt{x} + 3\]

Следовательно, производная функции \(y\) равна:

\[y' = -\sqrt{x} + 3\]

Теперь найдем точки, в которых производная равна нулю, чтобы определить экстремумы функции. Решим уравнение \(y' = 0\):

\[-\sqrt{x} + 3 = 0\]

\[\sqrt{x} = 3\]

\[x = 3^2\]

\[x = 9\]

Теперь, когда мы нашли точку, в которой производная равна нулю (\(x = 9\)), мы можем определить характер этой точки. Для этого можно воспользоваться второй производной или тестом на выпуклость функции. Поскольку здесь нет явного использования второй производной или теста на выпуклость, давайте подставим значения до и после этой точки в производную, чтобы увидеть изменение знака.

Выберем значения x, близкие к 9: например, x = 8 и x = 10.

При x = 8: \[y' = -\sqrt{8} + 3 < 0\]

При x = 10: \[y' = -\sqrt{10} + 3 > 0\]

Из этого следует, что у нас есть максимум функции при \(x = 9\), так как производная меняет знак с отрицательного на положительный при движении слева направо через \(x = 9\). Теперь найдем значение \(y\) в этой точке, чтобы получить полные координаты точки максимума:

\[y = -\frac{2}{3}x \sqrt{x} + 3x + 1\]

\[y(9) = -\frac{2}{3} \cdot 9 \cdot \sqrt{9} + 3 \cdot 9 + 1\]

\[y(9) = -18 + 27 + 1\]

\[y(9) = 10\]

Итак, точка максимума функции \(y = -\frac{2}{3}x \sqrt{x} + 3x + 1\) - это (9, 10).