Question

Вычислить (1+i)^(3-3i)

Answer 1

(1-i)*(3-3i) = 3-3i-3i+3i^2 = 3-6i-3 = -6i

Answer 2

Для вычисления выражения \((1+i)^{3-3i}\), давайте воспользуемся тем, что \(i^2 = -1\). Раскроем скобки и заменим \(i^2\) на \(-1\):

\[(1+i)^{3-3i} = (1+i)^3 \cdot (1+i)^{-3i}\]

Теперь вычислим каждую из частей по отдельности.

1. Вычисление \((1+i)^3\):

\[(1+i)^3 = (1+i)(1+i)(1+i)\]

Раскрываем скобки и умножаем:

\[(1+i)^3 = (1+i)(1+i)(1+i) = (1+i+i+i^2)(1+i) = (1+2i-i^2)(1+i)\]

Подставляем \(i^2 = -1\):

\[(1+2i-(-1))(1+i) = (2+2i)(1+i)\]

Раскрываем скобки и умножаем:

\[(2+2i)(1+i) = 2(1+i) + 2i(1+i) = 2+2i+2i+2i^2\]

Подставляем \(i^2 = -1\):

\[2+2i+2i-2 = 4i\]

Таким образом, \((1+i)^3 = 4i\).

2. Вычисление \((1+i)^{-3i}\):

Сначала выразим \((1+i)\) в тригонометрической форме, используя полярные координаты. Пусть \(1+i = r(\cos(\theta) + i\sin(\theta))\). Найдем \(r\) и \(\theta\):

\[r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}\]

\[\tan(\theta) = \frac{1}{1} = 1 \implies \theta = \frac{\pi}{4}\]

Теперь, мы можем записать \(1+i\) в тригонометрической форме:

\[1+i = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\]

Теперь возводим это в степень \(-3i\):

\[(1+i)^{-3i} = \left(\sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\right)^{-3i}\]

Используем формулу Эйлера: \(e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)\). Тогда:

\[(1+i)^{-3i} = e^{-3i\ln(1+i)}\]

Теперь находим \(\ln(1+i)\). Для этого выразим \(1+i\) в тригонометрической форме и возьмем её натуральный логарифм:

\[1+i = \sqrt{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)\]

\[\ln(1+i) = \ln(\sqrt{2}) + i\left(\frac{\pi}{4} + 2k\pi\right)\]

Теперь подставим \(\ln(1+i)\) в исходное выражение:

\[e^{-3i\ln(1+i)} = e^{-3i\ln(\sqrt{2})} \cdot e^{-3\left(\frac{\pi}{4} + 2k\pi\right)}\]

Упростим первый множитель:

\[e^{-3i\ln(\sqrt{2})} = e^{-\frac{3\pi i}{2}}\]

Теперь итоговое выражение:

\[(1+i)^{-3i} = e^{-\frac{3\pi i}{2}} \cdot e^{-3\left(\frac{\pi}{4} + 2k\pi\right)}\]

Теперь у нас есть оба значения:

\[(1+i)^3 = 4i\]

\[(1+i)^{-3i} = e^{-\frac{3\pi i}{2}} \cdot e^{-3\left(\frac{\pi}{4} + 2k\pi\right)}\]

Сложим их:

\[(1+i)^{3-3i} = 4i \cdot e^{-\frac{3\pi i}{2}} \cdot e^{-3\left(\frac{\pi}{4} + 2k\pi\right)}\]

Это конечное выражение для \((1+i)^{3-3i}\).