Question

Решите уравнение (x+3)^3-(x+1)^3

Answer 1

Х в 3+ 27      -         х в 3 +1 = 26 

Answer 2

Давайте решим уравнение \((x + 3)^3 - (x + 1)^3\).

Сначала раскроем кубы:

\((x + 3)^3 = (x + 3)(x + 3)(x + 3) = (x + 3)(x^2 + 6x + 9)\)

\((x + 1)^3 = (x + 1)(x + 1)(x + 1) = (x + 1)(x^2 + 2x + 1)\)

Теперь подставим оба выражения в исходное уравнение:

\((x + 3)^3 - (x + 1)^3 = (x + 3)(x^2 + 6x + 9) - (x + 1)(x^2 + 2x + 1)\)

Раскроем скобки:

\(= x(x^2 + 6x + 9) + 3(x^2 + 6x + 9) - (x^2 + 2x + 1)(x + 1)\)

\(= x^3 + 6x^2 + 9x + 3x^2 + 18x + 27 - (x^3 + x^2 + 2x^2 + 2x + x + 1)\)

\(= x^3 + 6x^2 + 9x + 3x^2 + 18x + 27 - x^3 - 3x^2 - 3x - 1\)

Теперь объединим подобные члены:

\(= (x^3 - x^3) + (6x^2 + 3x^2 - 3x^2) + (9x + 18x - 3x) + (27 - 1)\)

\(= 0 + 6x^2 + 24x + 26\)

Таким образом, уравнение \((x + 3)^3 - (x + 1)^3\) упрощается до \(6x^2 + 24x + 26\).

Если уравнение равно нулю, то получаем:

\[6x^2 + 24x + 26 = 0\]

Это квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

где у нас \(a = 6\), \(b = 24\), и \(c = 26\).

Подставим значения:

\[x = \frac{-24 \pm \sqrt{24^2 - 4(6)(26)}}{2(6)}\]

\[x = \frac{-24 \pm \sqrt{576 - 624}}{12}\]

\[x = \frac{-24 \pm \sqrt{-48}}{12}\]

Так как подкоренное выражение отрицательное, у уравнения нет вещественных корней. Однако, можно найти комплексные корни:

\[x = \frac{-24 \pm i\sqrt{48}}{12}\]

\[x = -2 \pm i\sqrt{2}\]

Итак, уравнение \((x + 3)^3 - (x + 1)^3 = 0\) имеет два комплексных корня: \(x = -2 + i\sqrt{2}\) и \(x = -2 - i\sqrt{2}\).