Question

Вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями у=2х в квадрате и у=х+1 сделав рисунок

Answer 1

Площадь интеграл разности функций.
Точки пересечения -   b = -0.5,  a = 1
$S= \int\limits^a_b {1+x-2x^2} \, dx= 9/8= 1.125$
ОТВЕТ  S=1.125

Answer 2

Вычисление площади фигуры

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями у = 2х в квадрате и у = х + 1, мы можем использовать метод интегрирования. Сначала нам нужно найти точки пересечения этих двух линий.

Уравнение у = 2х в квадрате можно переписать в виде у = 4х^2 Уравнение у = х + 1 остается без изменений.

Нахождение точек пересечения

Чтобы найти точки пересечения, приравняем уравнения у = 4х^2 и у = х + 1 друг к другу:

4х^2 = х + 1

Приведем уравнение к квадратному виду:

4х^2 - х - 1 = 0

Решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

х = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)

где a = 4, b = -1 и c = -1.

Подставим значения и решим уравнение:

х = (-(-1) ± √((-1)^2 - 4 * 4 * (-1))) / (2 * 4)

х = (1 ± √(1 + 16)) / 8

х = (1 ± √17) / 8

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: х = (1 + √17) / 8 и х = (1 - √17) / 8.

Построение рисунка

Теперь, когда у нас есть точки пересечения, мы можем построить график этих двух функций и найти область, ограниченную этими линиями.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-2, 2, 100)
y1 = 4 * x**2
y2 = x + 1

plt.plot(x, y1, label='y = 4x^2')
plt.plot(x, y2, label='y = x + 1')
plt.fill_between(x, y1, y2, where=(y1 > y2), color='gray', alpha=0.5)

plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('График функций y = 4x^2 и y = x + 1')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

Вычисление площади

Чтобы вычислить площадь фигуры, ограниченной этими линиями, мы можем использовать определенный интеграл. Площадь будет равна разности интегралов функций y = 4x^2 и y = x + 1 на интервале между точками пересечения.

Пусть точка пересечения с меньшим значением х будет х1, а точка пересечения с большим значением х будет х2.

Тогда площадь фигуры будет равна:

Площадь = ∫(от х1 до х2) (4x^2 - (x + 1)) dx

Вычислим этот интеграл:

Площадь = ∫(от х1 до х2) (4x^2 - x - 1) dx

После вычисления этого определенного интеграла мы получим площадь фигуры, ограниченной линиями у = 2х в квадрате и у = х + 1.

Обратите внимание: Для точного значения площади необходимо знать точные значения точек пересечения х1 и х2. В данном случае, мы можем только приближенно оценить площадь фигуры, используя график и численные методы интегрирования.