Question

Помогите пож-та вычислить неопределенный интеграл: int (1/x+1/sin²x)dx

Answer 1

$\displaystyle\int \left(\frac1x+\frac1{\sin^2x}\right)\,dx=\int\frac{dx}x+\int\frac{dx}{\sin^2x}=\ln|x|-\mathrm{ctg}\,x+C$

Answer 2

int (1/x+1/sin²x)dx = ln(x) -ct(x) +C

Answer 3

Для вычисления неопределенного интеграла ∫(1/x + 1/sin²x) dx разделим его на две части и проинтегрируем каждую из них по отдельности:

∫(1/x + 1/sin²x) dx = ∫(1/x) dx + ∫(1/sin²x) dx

1. Начнем с первой части ∫(1/x) dx. Это интеграл логарифмической функции: ∫(1/x) dx = ln|x| + C₁, где C₁ - произвольная константа.

2. Теперь рассмотрим вторую часть ∫(1/sin²x) dx. Для этого воспользуемся тригонометрической идентичностью: 1/sin²x = csc²x

Теперь мы можем проинтегрировать 1/sin²x как csc²x: ∫(1/sin²x) dx = ∫csc²x dx

Для интегрирования csc²x мы можем воспользоваться заменой переменной. Пусть t = cot(x), тогда dt = -csc²x dx. Заменяя переменную, получаем: ∫csc²x dx = -∫dt

Теперь мы можем проинтегрировать -dt: -∫dt = -t + C₂, где C₂ - еще одна произвольная константа.

Теперь объединим обе части интеграла: ∫(1/sin²x) dx = -t + C₂ = -cot(x) + C₂

Теперь можем объединить обе части интеграла и добавить обе произвольные константы: ∫(1/x + 1/sin²x) dx = ln|x| + C₁ - cot(x) + C₂

Итак, неопределенный интеграл ∫(1/x + 1/sin²x) dx равен: ln|x| - cot(x) + C, где C = C₁ + C₂, является произвольной константой.