Question

Чому дорівнює відношення площі круга до площі вписаного в нього квадрата?

Answer 1

S круга = π$r^{2}$
сторона квадрата через радиус описанной окружности:
a = r$\sqrt[]{2}$
S кв = $а^{2}$ =(r$\sqrt{2}$)^2 = 2$r^{2}$
Отношение:

(πr^2)/2r^2 = π/2

Answer 2

Відношення площі круга до площі вписаного в нього квадрата можна вивести, використовуючи відомості про радіус круга і сторону квадрата.

Нехай R - радіус круга, і s - сторона вписаного в нього квадрата.

1. Площа круга (S_circle): \[S_{\text{circle}} = \pi R^2.\]

2. Площа вписаного квадрата (S_square): \[S_{\text{square}} = s^2.\]

Якщо квадрат вписаний в круг, то його діагональ є діаметром круга. Діаметр дорівнює удвічі радіусу, тобто \(2R\). Використовуючи те, що діагональ квадрата дорівнює вдвічі його стороні, можна записати:

\[2R = \sqrt{2} \cdot s.\]

Отже, сторона квадрата може бути виражена як \(s = \frac{2R}{\sqrt{2}}\).

Тепер підставимо це значення в формулу для площі квадрата:

\[S_{\text{square}} = \left(\frac{2R}{\sqrt{2}}\right)^2 = \frac{4R^2}{2} = 2R^2.\]

Тепер можемо виразити відношення площі круга до площі вписаного в нього квадрата:

\[\frac{S_{\text{circle}}}{S_{\text{square}}} = \frac{\pi R^2}{2R^2} = \frac{\pi}{2}.\]

Отже, відношення площі круга до площі вписаного в нього квадрата дорівнює \(\frac{\pi}{2}\).