Question

Помогите исследовать функцию и построить график f(x)=3x^2-5x^3

Answer 1

1)нечетная
2) Д(-∞;+∞)
3)Е(-∞;0,16)

Answer 2

Конечно, давайте рассмотрим функцию \(f(x) = 3x^2 - 5x^3\).

1. Найти производные функции:

a. Найдем первую производную: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 5x^3) \]

b. Найдем вторую производную: \[ f''(x) = \frac{d^2}{dx^2}(3x^2 - 5x^3) \]

2. Найти точки экстремума и точки перегиба:

a. Решим уравнение \(f'(x) = 0\) для нахождения критических точек.

b. Найдем значения второй производной в этих точках.

c. По знаку второй производной определим, является ли точка экстремума или точкой перегиба.

3. Найти интервалы возрастания и убывания:

Используем знак первой производной.

4. Найти значения функции в критических точках и на концах интервалов:

Подставим найденные значения \(x\) в исходную функцию.

5. Построить график функции:

Используя полученные результаты, построим график функции \(f(x)\).

Давайте начнем с первого шага. Найдем первую производную:

\[ f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 5x^3) \]

\[ f'(x) = 6x - 15x^2 \]

Теперь найдем вторую производную:

\[ f''(x) = \frac{d^2}{dx^2}(6x - 15x^2) \]

\[ f''(x) = 6 - 30x \]

Теперь найдем критические точки, приравнивая первую производную к нулю:

\[ 6x - 15x^2 = 0 \]

Факторизуем это уравнение:

\[ 3x(2 - 5x) = 0 \]

Таким образом, \(x = 0\) и \(x = \frac{2}{5}\) - это критические точки.

Теперь определим интервалы возрастания и убывания, используя знак первой производной. Для этого построим таблицу знаков:

\[ \begin{array}{c|ccc} & x < 0 & 0 < x < \frac{2}{5} & x > \frac{2}{5} \\ \hline f'(x) & - & + & - \\ \end{array} \]

Отсюда видно, что функция убывает на интервале \((- \infty, 0)\), возрастает на интервале \((0, \frac{2}{5})\), и убывает на интервале \((\frac{2}{5}, +\infty)\).

Теперь найдем значения второй производной в критических точках:

\[ f''(0) = 6 \] \[ f''\left(\frac{2}{5}\right) = 6 - 30 \cdot \frac{2}{5} = 6 - 12 = -6 \]

Так как \(f''(0) > 0\) и \(f''\left(\frac{2}{5}\right) < 0\), точка \(x = 0\) является точкой минимума, а точка \(x = \frac{2}{5}\) - точкой максимума.

Теперь найдем значения функции в критических точках и на концах интервалов:

\[ f(0) = 0 \]

\[ f\left(\frac{2}{5}\right) = 3\left(\frac{2}{5}\right)^2 - 5\left(\frac{2}{5}\right)^3 \]

\[ f\left(\frac{2}{5}\right) = \frac{12}{25} - \frac{40}{125} = \frac{12}{25} - \frac{40}{125} = \frac{12}{25} - \frac{8}{25} = \frac{4}{25} \]

Также рассмотрим значение функции на бесконечности. Поскольку старший член функции -5x^3, который убывает при x -> ±∞, то функция тоже убывает при x -> ±∞. Следовательно, значения на бесконечности будут -∞.

Теперь можем построить график функции.