Question

Решите уравнение :5^(2x)=3^(2x)+2*5^x+2*3^x

Answer 1

Представим уравнение в виде $5^{2x}-2\cdot5^x+1=3^{2x}+2\cdot3^x+1$

Заметим, что в левой и правой сторонах уравнения стоят полные квадраты. Перенесём всё в одну часть и разложим по формуле разности квадратов.
$(5^x-1)^2=(3^x+1)^2\\ (5^x-1)^2-(3^x+1)^2=0\\ (5^x+3^x)(5^x-3^x-2)=0\quad|:5^x+3^x\ \textgreater \ 0\\ 5^x-3^x-2=0\\ 5^x-3^x=2$

Подбором находим корень x = 1.

Других корней у уравнения нет:

- При x > 0 функция 
$y(x)=5^x-3^x=3^x\left(\left(\dfrac53\right)^x-1\right)$
возрастает как произведение двух положительных возрастающих функций, поэтому на этом промежутке у уравнения может быть не более одного корня.
- При x ≤ 0 $5^x-3^x\leqslant5^x\leqslant5^0=1$

Ответ. x = 1

Answer 2

Давайте решим данное уравнение по шагам.

Уравнение: 5^(2x) = 3^(2x) + 2 * 5^x + 2 * 3^x

Введение:

Чтобы решить данное уравнение, мы будем использовать свойства степеней и логарифмов. Применим логарифмы с основанием 5 к обеим сторонам уравнения, чтобы избавиться от степеней 5. Затем мы сможем переписать уравнение в более удобной форме и решить его.

Шаг 1: Применение логарифмов к обеим сторонам уравнения:

log5(5^(2x)) = log5(3^(2x) + 2 * 5^x + 2 * 3^x)

Шаг 2: Применение свойства степени в логарифмах:

2x * log5(5) = log5(3^(2x) + 2 * 5^x + 2 * 3^x)

Шаг 3: Упрощение выражения:

2x * 1 = log5(3^(2x) + 2 * 5^x + 2 * 3^x)

Шаг 4: Применение свойства логарифма:

2x = log5(3^(2x) + 2 * 5^x + 2 * 3^x)

Шаг 5: Преобразование правой части уравнения:

2x = log5(3^(2x)) + log5(2 * 5^x + 2 * 3^x)

Шаг 6: Применение свойства степени в логарифмах:

2x = 2x * log5(3) + log5(2 * 5^x + 2 * 3^x)

Шаг 7: Упрощение выражения:

2x - 2x * log5(3) = log5(2 * 5^x + 2 * 3^x)

Шаг 8: Факторизация:

2x * (1 - log5(3)) = log5(2 * 5^x + 2 * 3^x)

Шаг 9: Деление обеих сторон на (1 - log5(3)):

2x = log5(2 * 5^x + 2 * 3^x) / (1 - log5(3))

Шаг 10: Решение уравнения:

x = log5(2 * 5^x + 2 * 3^x) / (2 * (1 - log5(3)))

Таким образом, решение данного уравнения представлено выражением x = log5(2 * 5^x + 2 * 3^x) / (2 * (1 - log5(3))).