Question

(x^2-4x+1)/(x-4) Исследовать функцию

Answer 1

Вот решение
============

Answer 2

Для начала, разложим выражение \(\frac{x^2 - 4x + 1}{x - 4}\) на части при помощи деления полинома на многочлен.

\[ \require{enclose} \begin{array}{c|cc(cc)} & x & -4 & & \\ \cline{2-5} x-4 & x^2 & -4x & +1 & \\ \end{array} \]

Давайте разделим \(x\) на \(x\) и умножим \(x-4\) на \(x\), что даст \(x^2 - 4x\). Помним, что затем вычитаем этот результат из исходного полинома:

\[ \begin{array}{c|cc(cc)} & x & -4 & & \\ \cline{2-5} x-4 & x^2 & -4x & +1 & \\ & -(x^2 & -4x &) & \\ \cline{2-4} & & 0 & +1 & \\ \end{array} \]

Получили остаток \(+1\). Теперь мы можем записать исходное выражение как:

\[ \frac{x^2 - 4x + 1}{x - 4} = x + \frac{1}{x - 4} \]

Теперь рассмотрим функцию \(f(x) = x + \frac{1}{x - 4}\).

Анализ функции \(f(x) = x + \frac{1}{x - 4}\):

1. Область определения:

Функция \(f(x)\) определена для всех значений \(x\), кроме тех, для которых знаменатель равен нулю, то есть \(x - 4 = 0\), следовательно, \(x \neq 4\). Таким образом, область определения функции \(f(x)\) - все вещественные числа, кроме \(x = 4\).

2. Нули функции:

Чтобы найти нули функции \(f(x)\), решим уравнение \(f(x) = 0\):

\[ x + \frac{1}{x - 4} = 0 \]

Переносим \(\frac{1}{x - 4}\) на другую сторону уравнения:

\[ x = -\frac{1}{x - 4} \]

Из этого уравнения получаем, что \(x(x - 4) = -1\), что эквивалентно квадратному уравнению:

\[ x^2 - 4x + 1 = 0 \]

Это уравнение не имеет рациональных корней, а значит, нули функции \(f(x)\) не являются рациональными числами.

3. Асимптоты:

Функция \(f(x) = x + \frac{1}{x - 4}\) имеет вертикальную асимптоту при \(x = 4\) из-за того, что знаменатель \(x - 4\) обращается в ноль при \(x = 4\).

4. Знак функции:

Функция \(f(x)\) будет положительной при \(x > 4\) и \(x < 4\) и отрицательной при \(x < 4\).

5. График функции:

График функции будет иметь асимптоту в точке \(x = 4\) и будет проходить через все остальные значения \(x\) в соответствии с выражением \(f(x) = x + \frac{1}{x - 4}\).

Надеюсь, это поможет в понимании данной функции и её особенностей.