Question

Мистер Фокс задумал некоторое натуральное число N, большее 410, но меньшее 420, и сложил все натуральные числа от 1 до N. Он обнаружил, что полученная сумма делится на некоторое простое число p, однако ни одно слагаемое на p не делится. Чему равно N?

Answer 1

Сумму всех натуральных чисел  можно вычислить по формуле арифметической прогрессии:

$S_n= \frac{(a_1+a_n)*n}{2}$

a₁=1
an=N
n=N

Подставим числа в формулу:

$S_n= \frac{(N+1)*N}{2}$

Очевидно, что это простое число может быть либо числом  P=N+1, в этом случае все числа от 1 до N не делятся на P=N+1.
Найдем простые числа в промежутке от 410 до 420.
Только 1 простое число 419.

P=419
N=419-1=418

Ответ N=418

Answer 2

Давайте рассмотрим данную задачу более подробно.

Мы знаем, что число N больше 410 и меньше 420. Пусть N = 410 + k, где k - некоторое натуральное число.

Мистер Фокс сложил все натуральные числа от 1 до N. Это можно представить в виде суммы арифметической прогрессии:

1 + 2 + 3 + ... + N = (N*(N+1))/2

Теперь нам нужно найти такое простое число p, что полученная сумма делится на него, но ни одно слагаемое на p не делится.

Рассмотрим несколько вариантов:

1. Если N четное, то (N*(N+1))/2 - это произведение двух чисел, одно из которых является четным. Таким образом, сумма не может делиться на простое число p, так как оно должно быть нечетным.

2. Если N нечетное, то (N*(N+1))/2 - это произведение двух чисел, оба из которых являются нечетными. В этом случае возможно, что сумма будет делиться на простое число p.

3. Рассмотрим сумму (N*(N+1))/2 для нечетного числа N. Если N простое, то сумма не будет делиться ни на одно простое число p, так как все слагаемые являются нечетными. Например, при N = 411 полученная сумма равна 84606, которая не делится ни на одно простое число.

4. Однако, если N состоит из двух простых множителей, то возможно, что сумма будет делиться на одно из этих простых чисел. Например, если N = 413 = 7 * 59, то сумма равна 85479, которая делится на 7.

Таким образом, чтобы найти число N, мы должны искать такое нечетное число, которое является произведением двух простых чисел. В данном случае, N = 413.