Question

Решите уравнение (1/81)^(cosx)= 9^(√2*sin2x)

Answer 1

9^(-2cosx)=9^(sqrt(2)*sin2x)
-2cosx=sqrt(2)*2sinx*cosx
Одно решение cosx=0
Другое sinx= -sqrt(2)/2
В первом случае х=пи/2+2*пи*к
Во втором    х=-пи/4+2*пи*к  или х=5*пи/4+2*пи*к
Здесь к -любое целое.
Ответ: х=пи/2+2*пи*к
или   х=-пи/4+2*пи*к  или х=5*пи/4+2*пи*к
Здесь к -любое целое.

Answer 2

Давайте решим уравнение поэтапно.

Шаг 1: Приведение оснований к общему виду У нас есть основания 1/81 и 9. Чтобы решить уравнение, приведем оба основания к общему виду. Заметим, что 81 = (9^2), поэтому мы можем записать 1/81 как (1/9^2).

Теперь уравнение выглядит следующим образом: (1/9^2)^(cosx) = 9^(√2*sin2x)

Шаг 2: Применение свойства степеней Мы можем применить свойство степеней для упрощения уравнения. Если мы возведем основание в степень, умноженную на показатель степени, то степень сокращается.

Теперь уравнение выглядит так: 1/9^(2*cosx) = 9^(√2*sin2x)

Шаг 3: Преобразование оснований в общий вид Чтобы сравнить два основания, приведем их к общему виду. Заметим, что 9 = (3^2), поэтому мы можем записать 1/9^(2*cosx) как (1/3^(2*cosx)).

Теперь уравнение принимает следующий вид: (1/3^(2*cosx)) = (3^2)^(√2*sin2x)

Шаг 4: Применение свойства степеней Снова применим свойство степеней для упрощения уравнения. Возведем 3 в квадрат, умноженный на показатель степени, и получим 9.

Теперь уравнение выглядит так: 1/3^(2*cosx) = 9^(2*sin2x)

Шаг 5: Применение свойства обратных степеней Используем свойство обратных степеней, чтобы инвертировать обе части уравнения. То есть, возведем обе стороны в -1 степень.

Теперь уравнение принимает следующий вид: (1/3^(2*cosx))^(-1) = (9^(2*sin2x))^(-1)

Шаг 6: Упрощение степеней Сократим степени слева и справа.

Теперь уравнение выглядит так: 3^(2*cosx) = 1/9^(2*sin2x)

Шаг 7: Применение свойства степеней Применим свойство степеней для упрощения уравнения. Если мы умножим показатели степеней, степень суммируется.

Теперь уравнение принимает следующий вид: 3^(2*cosx) = (1/9)^(2*sin2x)

Шаг 8: Преобразование правой части Заметим, что (1/9)^(2*sin2x) = (1/3^2)^(2*sin2x). Мы можем записать 1/3^2 как 3^(-2).

Теперь уравнение выглядит так: 3^(2*cosx) = 3^(-2*sin2x)

Шаг 9: Сравнение показателей степеней Теперь мы можем сравнить показатели степеней. Для того чтобы два числа были равны, их показатели должны быть равны.

2*cosx = -2*sin2x

Шаг 10: Решение уравнения Давайте решим полученное уравнение.

2*cosx = -2*sin2x

Мы можем разделить обе стороны на 2, чтобы упростить уравнение:

cosx = -sin2x

Теперь мы можем применить тригонометрическую тождественность:

cosx = -2*sinx*cosx

Делаем замечание, что cosx не может быть нулем, так как в левой части уравнения нет нуля. Поэтому мы можем разделить обе стороны на cosx:

1 = -2*sinx

Теперь решим это уравнение:

-2*sinx = 1

sinx = -1/2

Таким образом, уравнение (1/81)^(cosx) = 9^(√2*sin2x) имеет решение sinx = -1/2.