Question

Помогите решить предел функции Lim. x->0. Числитель: кубический корень (27-x-3). Знаменатель: 5x Если можно, с решением)

Answer 1

$\lim_{n \to 0} \frac{ \sqrt[3]{27-x}-3 }{5x} = (\frac{0}{0})= \lim_{n \to 0} -\frac{1}{3*5\sqrt[3]{(27-x)^2}} = -\frac{1}{135}$ - С помощью Лопиталя

Answer 2

Конечно, я могу помочь вам решить предел функции. Давайте рассмотрим вашу функцию:

\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{\sqrt[3]{27 - x^3}}{5x} \]

Чтобы решить этот предел, давайте воспользуемся некоторыми свойствами алгебры и правилами вычисления пределов. Сначала упростим числитель и знаменатель.

Числитель: \(\sqrt[3]{27 - x^3}\)

Мы знаем, что \(a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)\). В данном случае \(a = \sqrt[3]{27}\) и \(b = x\), следовательно:

\[ \sqrt[3]{27 - x^3} = \sqrt[3]{(3 - x)(9 + 3x + x^2)} \]

Теперь подставим это обратно в наш предел:

\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{\sqrt[3]{27 - x^3}}{5x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{\sqrt[3]{(3 - x)(9 + 3x + x^2)}}{5x} \div \frac{5}{5} \]

Теперь у нас есть дробь, и мы можем разделить числитель и знаменатель:

\[ \lim_{{x \to 0}} \frac{\sqrt[3]{(3 - x)(9 + 3x + x^2)}}{5x} = \frac{\lim_{{x \to 0}} \sqrt[3]{(3 - x)(9 + 3x + x^2)}}{\lim_{{x \to 0}} 5x} \]

Теперь давайте вычислим пределы отдельно. В знаменателе предел равен нулю, поэтому нужно применить правило Лопиталя для числителя:

\[ \lim_{{x \to 0}} \sqrt[3]{(3 - x)(9 + 3x + x^2)} = \lim_{{x \to 0}} \frac{d}{dx}((3 - x)(9 + 3x + x^2)) \]

Вычислим производную числителя:

\[ \frac{d}{dx}((3 - x)(9 + 3x + x^2)) = \frac{d}{dx}(27 + 12x - 3x^2 - x^3) = 12 - 6x - 3x^2 \]

Теперь вычислим предел:

\[ \lim_{{x \to 0}} (12 - 6x - 3x^2) = 12 \]

Теперь подставим этот результат обратно в нашу исходную дробь:

\[ \frac{\lim_{{x \to 0}} \sqrt[3]{(3 - x)(9 + 3x + x^2)}}{\lim_{{x \to 0}} 5x} = \frac{12}{0} \]

Итак, предел равен бесконечности. Получается, что предел вашей исходной функции, когда \(x\) стремится к 0, равен бесконечности.