Question

Решите уравнение упростив левую часть а) cos^2x-sin^2x=корень 3/2 б)2 sin 2x * cos 2x=1 в) sin 3x * cos (x+pi/4)+cos 3x * sin (x+pi/4)=0

Answer 1

$cos^2x-sin^2x= \frac{ \sqrt{3}}{2}\\cos2x= \frac{ \sqrt{3}}{2}\\2x=б \frac{ \pi }{6}+2 \pi n,...\\x=б \frac{ \pi }{12}+ \pi n,...\\\\2sin2x*cos2x=1\\sin4x=1\\4x= \frac{ \pi }{2}+2 \pi n,...\\x= \frac{ \pi }{8}+ \frac{ \pi }{2}n,...\\\\sin3x*cos(x+ \frac{ \pi }{4})+cos3x*sin(x+ \frac{ \pi }{4})=0\\sin(3x+x+ \frac{ \pi }{4})=0\\sin(4x+ \frac{ \pi }{4})=0\\(4x+ \frac{ \pi }{4})= \pi n,...\\4x= \pi n- \frac{ \pi }{4},...\\x= \frac{ \pi }{4}n- \frac{ \pi }{8},...$

Answer 2

Давайте по очереди решим каждое уравнение.

a) cos^2x - sin^2x = √(3/2)

Для начала заметим, что уравнение содержит квадраты тригонометрических функций. Мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами для упрощения левой части уравнения.

Используя тождество cos^2x - sin^2x = cos(2x), мы можем переписать уравнение следующим образом:

cos(2x) = √(3/2)

Теперь мы хотим найти значения x, которые удовлетворяют этому уравнению. Для этого нам понадобится обратная функция косинуса.

cos^(-1)(√(3/2)) = 30°

Таким образом, решение уравнения равно:

2x = 30° + 360°n, где n - целое число

x = 15° + 180°n, где n - целое число

б) 2sin(2x) * cos(2x) = 1

Для решения этого уравнения мы можем использовать тригонометрическое тождество sin(2θ) = 2sinθcosθ.

Заменим sin(2x) в уравнении:

2(2sinx*cosx) * cos(2x) = 1

Упростим:

4sinx*cosx * cos(2x) = 1

Снова используем тождество sin(2θ) = 2sinθcosθ:

2sinx * (2cos^2x - 1) = 1

Упростим:

4sinx*cos^2x - 2sinx = 1

Перенесем все слагаемые в левую часть:

4sinx*cos^2x - 2sinx - 1 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение относительно sinx. Давайте обозначим sinx как t:

4t*cos^2x - 2t - 1 = 0

Это квадратное уравнение относительно t. Решив его, мы найдем значения t, а затем сможем найти значения x.

в) sin(3x) * cos(x + π/4) + cos(3x) * sin(x + π/4) = 0

Для решения этого уравнения мы можем использовать тригонометрические тождества для суммы и разности углов.

Раскроем произведения тригонометрических функций:

sin(3x) * cos(x) * cos(π/4) - sin(3x) * sin(x) * sin(π/4) + cos(3x) * sin(x) * cos(π/4) + cos(3x) * cos(x) * sin(π/4) = 0

Упростим:

(√2/2)(sin(3x) * cos(x) - sin(x) * cos(3x)) + (√2/2)(cos(3x) * sin(x) + cos(x) * sin(3x)) = 0

Теперь мы можем использовать тригонометрическое тождество для разности углов:

(√2/2)(sin(2x) * (cos(x) - cos(3x)) + cos(2x) * (sin(x) + sin(3x))) = 0

Каждое слагаемое в скобках равно нулю:

sin(2x) * (cos(x) - cos(3x)) = 0

cos(2x) * (sin(x) + sin(3x)) = 0

Каждое из этих уравнений может быть решено отдельно.