Question

Исследовать функцию: 1/2*x^2-1/5*x^5

Answer 1

F(x) = (1/2) x²-(1/5)x⁵
Точки пересечения с осью координат X. График функции пересекает ось X при f(x) = 0, значит надо решить уравнение: 
(1/2) x²-(1/5)x⁵= 0. Точки пересечения с осью X: Аналитическое решениеx1 = (2^(2/3) *√5) / 2
Численное решениеx1 = 0. x2 = 1.3572088083 
Точки пересечения с осью координат Y: График пересекает ось Y, когда x равняется 0:подставляем x = 0 в x^2/2 - x^5/5. 2 5 0 0 -- - -- 2 5 Результат:f(0) = 0Точка:(0, 0)
График функции:
x -3     -2.5        -2             -1.5    -1 -0.5      0  0.5    1 1.5 2 2.2 2.5 3
y 53.1 22.656 8.4 2.644 0.7 0.131 0.119  0 0.3 -0.394 -4.4 -7.887 -16.41 -44.1
Точки перегибов Найдем точки перегибов, для этого надо решить уравнение 2 d ---(f(x)) = 0 2 dx (вторая производная равняется нулю),корни полученного уравнения будут точками перегибов для указанного графика функции, 2 d ---(f(x)) = 2 dx 3 1 - 4*x = 0 Решаем это уравнение Корни этого ур-ния 3 ___ \/ 2 x1 = ----- 2 Интервалы выпуклости и вогнутости:Найдём интервалы, где функция выпуклая или вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:Вогнутая на промежутках 3 ___ \/ 2 (-oo, -----] 2 Выпуклая на промежутках 3 ___ \/ 2 [-----, oo) 2 Горизонтальные асимптоты Горизонтальные асимптоты найдём с помощью пределов данной функции при x->+oo и x->-oo 2 5 x x lim -- - -- = oo x->-oo2 5 значит,горизонтальной асимптоты слева не существует 2 5 x x lim -- - -- = -oo x->oo2 5 значит,горизонтальной асимптоты справа не существует Наклонные асимптоты Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^2/2 - x^5/5, делённой на x при x->+oo и x->-oo 2 5 x x -- - -- 2 5 lim ------- = -oo x->-oo x значит,наклонной асимптоты слева не существует 2 5 x x -- - -- 2 5 lim ------- = -oo x->oo x значит,наклонной асимптоты справа не существует Чётность и нечётность функции Проверим функцию чётна или нечётна с помощью соотношений f(x) = f(-x) и f(x) = -f(-x).Итак, проверяем: 2 5 2 5 x x x x -- - -- = -- + -- 2 5 2 5 - Нет 2 5 2 5 x x x x -- - -- = - -- - -- 2 5 2 5 - Нет. значит, функция не является ни чётной ни нечётной.

Answer 2

Данная функция выглядит следующим образом:

f(x) = 1/2 * x^2 - 1/5 * x^5

Давайте разберемся в ее устройстве и исследуем ее свойства.

Анализ функции

1. Область определения

Для начала определим область определения функции. В данном случае, функция определена для всех значений переменной x.

2. Поведение функции при x -> +/- бесконечности

При анализе поведения функции при стремлении x к плюс или минус бесконечности, мы рассматриваем наиболее значимые слагаемые. В данной функции наиболее значимым слагаемым является -1/5 * x^5. При стремлении x к плюс или минус бесконечности, это слагаемое будет доминировать, и функция будет стремиться к плюс или минус бесконечности соответственно.

3. Точки пересечения с осями координат

Чтобы найти точки пересечения с осями координат, мы приравниваем функцию к нулю и решаем уравнение:

1/2 * x^2 - 1/5 * x^5 = 0

Можем заметить, что первое слагаемое в данной функции является параболой, а второе слагаемое - пятой степенью. Поэтому, уравнение может иметь несколько корней. Для нахождения точек пересечения мы можем использовать численные методы или графический подход.

4. Монотонность функции и экстремумы

Чтобы определить монотонность функции и найти ее экстремумы, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю:

f'(x) = d/dx(1/2 * x^2 - 1/5 * x^5) = x - x^4

Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю:

x - x^4 = 0

Решая это уравнение, мы можем найти значения x, в которых производная равна нулю. Затем мы можем использовать вторую производную, f''(x), чтобы определить, является ли каждая критическая точка экстремумом или точкой перегиба.

5. График функции

Чтобы получить представление о форме графика функции, мы можем построить его, используя найденные свойства функции, точки пересечения с осями координат, монотонность и экстремумы.

Выводы

Исследование данной функции позволяет определить ее основные свойства, такие как область определения, поведение при стремлении x к бесконечности, точки пересечения с осями координат, монотонность и экстремумы. Также, построение графика функции может дать нам наглядное представление о ее форме и особенностях.