Question

Найти наименьший объем цилиндра, у которого полная поверхность равно S

Answer 1

Площадь поверхности цилиндра равна S=2pir^2+2pirh (1), а его объем V=pir^2h (2). выразим h из (1) и подставим в (2) h=(S-2pir^2)/2pir,
V=(pir^2*S)/2pir-(2pi^2r^4)/2pir=Sr/2-pir^3. иследуем V на максимум, для этого стандартно возмем производную от V и приравняем ее 0.
V`=S/2-3pir^2=0, откуда r=корень из (S/6pi), подставим сюда S из (1), проведем сокращения и возведем обе части в квадрат, получим r^2=r^2/3+rh/3, отсюда h=2r. т. е. искомый цилиндр имеет высоту равную диаметру основания.

Answer 2

Чтобы найти наименьший объем цилиндра, у которого полная поверхность равна S, нужно использовать формулу для вычисления полной поверхности цилиндра и формулу для вычисления объема цилиндра.

Полная поверхность цилиндра вычисляется по формуле: S = 2πr² + 2πrh,

где S - полная поверхность цилиндра, r - радиус основания цилиндра, h - высота цилиндра.

Объем цилиндра вычисляется по формуле: V = πr²h,

где V - объем цилиндра.

Для нахождения наименьшего объема цилиндра, у которого полная поверхность равна S, нужно решить систему уравнений, состоящую из этих двух формул.

1. Из формулы для полной поверхности цилиндра получаем выражение для радиуса: 2πr² + 2πrh = S, 2πr(r + h) = S, r(r + h) = S / (2π).

2. Из формулы для объема цилиндра получаем выражение для высоты: V = πr²h, h = V / (πr²).

3. Подставляем выражение для высоты из пункта 2 в выражение для радиуса из пункта 1: r(r + V / (πr²)) = S / (2π), r² + V / π = S / (2πr), r³ + V / πr - S / (2π) = 0.

4. Решаем полученное уравнение относительно радиуса r. Для этого можно использовать методы численного решения уравнений, например, метод Ньютона.

5. После нахождения значения радиуса r подставляем его в формулу для высоты из пункта 2 и находим значение высоты h.

6. Подставляем найденные значения радиуса и высоты в формулу для объема цилиндра и получаем наименьший объем цилиндра, у которого полная поверхность равна S.

Важно отметить, что при решении уравнения может получиться несколько значений радиуса r. В этом случае необходимо выбрать тот радиус, который соответствует физической реальности (например, положительное значение радиуса).